Регистр

Знак процента отделяют от числа пробелом, как любое обозначение единицы: 24 %, а не 24%. Сокращения APR, APY и APRC пишут прописными латинскими буквами без точек, а русское ПСК — прописными кириллицей. Рядом со ставкой всегда стоит слово, которое объясняет, какая она: годовая, в месяц, эффективная или полная.

Не путать

APR — это ставка за месяц, умноженная на двенадцать, без процентов на проценты, а APY показывает, на сколько деньги вырастут за год на самом деле. Банку выгодно рекламировать вклад числом APY, потому что оно больше, а кредит числом APR, потому что оно меньше, хотя речь идёт об одних и тех же деньгах.

Знак процента на плите собран из настоящих денег. Его косая черта — пачка купюр в банковских бандеролях, верхний кружок — серебряная монета вклада в сто единиц под двадцать четыре процента годовых, а нижний — золотая монета, в которую вклад превращается через год. Каждую секунду проходит месяц, и по пачке, как по жёлобу, скатывается монетка начисленных процентов. Приглядитесь: каждая следующая монетка чуть крупнее предыдущей, потому что проценты начисляются уже и на прежние проценты. К концу года на табло вместо 24 % стоит 26,82 %.

Паспорт величины · финансы · цена денег во времени

Процент годовых

% годовых · APR · APY · ПСК · APRC · (1 + r/n)ⁿ − 1

Представьте, что вы взяли в долг и каждый месяц платите за это два процента. Сколько это в год? Почти каждый, не задумываясь, ответит: двадцать четыре. Однако проценты, которые вы не заплатили в январе, в феврале прибавятся к долгу, и уже на них тоже начнут начисляться проценты. К декабрю набежит не двадцать четыре, а без малого двадцать семь процентов. Ни одно из этих чисел не ложно: первое отвечает на вопрос, какова ставка, а второе — сколько вы отдадите на самом деле.

Процент годовых — это цена денег во времени, пересчитанная на год, и у одной и той же сделки таких цен бывает несколько. Номинальная ставка APR просто умножает ставку за месяц на число месяцев. Эффективная ставка APY учитывает проценты на проценты. Полная стоимость кредита добавляет к процентам комиссии и страховки, и тогда ставку уже нельзя вычислить по формуле, её можно только найти, подбирая число, при котором полученные деньги уравновешивают все будущие платежи. А реальная ставка вычитает ещё и рост цен, отвечая на самый главный вопрос: стали ли вы богаче.

Что это

отношение платы за пользование деньгами к их сумме, пересчитанное на год

Обозначения

% годовых; APR, APY, EAR; ПСК; APRC, TAEG, TAE; CET; CAT; 年化利率

Размерность

T⁻¹: безразмерная доля, отнесённая ко времени

Связь

APY = (1 + APR/n)ⁿ − 1; при непрерывном начислении eᴬᴾᴿ − 1

Опорные числа

2 % в месяц — 26,82 % в год; удвоение за 72/r лет; предел роста — e = 2,718

Законы

TILA и Reg Z (США), 2008/48/EC (ЕС), 353-ФЗ (Россия), Resolução CMN (Бразилия), ISO 4217 для валют

Посчитать свою ставку К пересчёту

Пересчёт

Ставка за любой срок — в ставку за год

Введите ставку так, как вам её назвали: в год, в месяц, за две недели или в день. Слева появятся все её годовые и периодические формы, а справа — за сколько при такой ставке деньги удвоятся и вырастут вдесятеро. Обратите внимание, как быстро расходятся простое умножение и честный пересчёт, когда срок становится коротким, а ставка высокой.

ЧАСТЫЕ СЛУЧАИ

та же ставка

что из неё следует

Этимология

За сотню, между и на веру

Три слова, без которых не обходится ни один договор, пришли из латыни, но у каждого своя дорога. Одно называет счёт, другое — причину платы, а третье напоминает, что любой долг начинается с доверия.

процентИталия, XV в.

лат. pro centum · за сотню→ит. per cento→нем. Prozent → процент

Итальянские купцы и менялы считали прибыль с каждой сотни и так и говорили: per cento, «за сотню». В счётных книгах эти слова сокращали до «p c°», а потом и вовсе до кружка над чертой и кружка под ней, и к XVII веку из этой скорописи сложился знак %. В русский язык слово пришло при Петре I через немецкое Prozent.

interestримское право

лат. inter esse · быть между→id quod interest · ущерб→англ. interest

Средневековая церковь запрещала брать плату за сам заём, ведь это была ростовщическая лихва. Зато разрешалось возместить ущерб, если долг вернули позже срока, и юристы назвали его словами id quod interest, «то, что лежит между» обещанным и исполненным. Так возмещение за промедление стало английским словом interest, а по-русски в старину говорили «рост» и «лихва».

кредитлат. credere

лат. credere · верить→creditum · вверенное→кредит

Кредит буквально означает «то, что дали на веру». В арабском языке плату за заём называют словом риба, «прибавка», и исламские банки обходятся без неё: вместо процента они покупают товар и перепродают его клиенту с наценкой в рассрочку, по договору мурабаха. Название меняется, но годовую стоимость такой сделки считают той же формулой.

Как называют в других языках и законах

年利率 · 年化利率 nián lìlǜ — китайский: «годовая ставка» и «ставка, приведённая к году»; второе слово с 2021 года обязательно в рекламе кредитов

実質年率 jisshitsu nenritsu — японский: «фактическая годовая ставка», вместе с комиссиями

نسبة الفائدة السنوية — арабский: «годовая доля прибавки»; ربا ribā — запретный процент

TAE · CAT — испанский: tasa anual equivalente в Испании, costo anual total в Мексике

CET · TAEG — португальский в Бразилии, custo efetivo total; французский и итальянский, taux annuel effectif global

ब्याज दर byāj dar — хинди; жилийн хүү — монгольский; yıllık faiz — турецкий; bunga per tahun — индонезийский

APR

annual percentage rate — годовая процентная ставка; в США — ставка за период, умноженная на число периодов

APY · EAR

annual percentage yield, effective annual rate — годовая доходность со сложными процентами

APRC

annual percentage rate of charge — годовая ставка всех затрат по кредиту в Евросоюзе

ПСК

полная стоимость кредита — в России печатается в квадратной рамке в правом верхнем углу договора

01 · Определение

Одна сделка — четыре ставки

Процент годовых показывает, какую долю суммы придётся заплатить за то, что деньгами пользовались целый год. Если проценты начисляют один раз в конце года, всё просто, и ставка в договоре совпадает с ростом долга. Но банки начисляют их ежемесячно, а то и ежедневно, и каждая начисленная порция тут же становится частью суммы. Тогда приходится различать номинальную ставку, которую делят на число периодов, и эффективную, которая показывает итог года со всеми процентами на проценты.

Разрыв между ними растёт вместе со ставкой. При пяти процентах годовых ежемесячное начисление прибавляет лишь двенадцать сотых процента, а при двадцати четырёх — почти три полных пункта. Когда же к процентам добавляются комиссии и платежи разной величины в разные дни, простой формулы не остаётся. Полную стоимость кредита находят как корень уравнения: это та единственная ставка, при которой полученные деньги в точности равны всем будущим платежам, приведённым к сегодняшнему дню. Так работает и финансовый калькулятор, и программа регулятора, которая проверяет банк.

r — номинальная ставка в год · n — начислений в год · i — доходность · π — инфляция · S — сумма · j — ставка за месяц · N — число платежей · CF — платежи сделки · X — искомая ставка

Интерактив · задача Бернулли

Сто процентов, разрезанные на куски

Положим рубль под сто процентов годовых и будем начислять проценты всё чаще: раз в год, по полгода, ежемесячно, каждый день, каждый час. Кажется, что так можно разбогатеть сколько угодно. Выберите, на сколько частей разрезать год, и посмотрите, во что превратится рубль.

APY

2,002,36e = 2,718

Эталон · опорные значения

26,82 %столько в год дают два процента в месяц, а вовсе не двадцать четыре 391 %APR займа «пятнадцать за сотню на две недели» 72 / rлет до удвоения; при шести процентах это двенадцать лет ¹⁄₈ п. п.допуск, в пределах которого напечатанный в США APR считается верным

Интерактив · калькулятор настоящей ставки

Положите, займите, проверьте рекламу

Впишите свою сумму и выберите валюту, и холст выложит её настоящими пачками купюр в банковских бандеролях. В опыте «Вклад» меняйте ставку, частоту начисления, налог и инфляцию: вы увидите, какая часть процентов растёт на процентах и какую часть съедают цены. В опыте «Кредит» добавляйте комиссию и страховку и следите, как ставка из договора превращается в полную стоимость. А в опыте «Подвох» разберите восемь приёмов, которыми сегодня по всему миру прячут настоящую цену денег.

Сумма и валюта

Ставка банка

Проценты прибавляют к вкладу

Срок

Рост цен

Налог

Ставка в договоре

Срок

Комиссия при выдаче

Страховка и обслуживание

График · частота начисления

Чем чаще, тем больше, но не бесконечно

Золотая кривая показывает, какой станет годовая доходность при той же номинальной ставке, если проценты начислять раз в год, раз в квартал, ежемесячно, ежедневно или ежечасно. Она поднимается всё медленнее и прижимается к фиолетовому пунктиру, пределу непрерывного начисления. Красная метка — ваш вклад, ваш кредит или ставка из рекламы.

как часто начисляютAPY в год

График · деньги во времени

Что растёт, а что тает

Для вклада фиолетовая линия — сумма на счёте, золотая — то, что дали бы простые проценты, а красная — покупательная сила денег. Для кредита бирюзовая линия — остаток долга, золотая — всё, что вы уже заплатили. Для подвоха кривая показывает настоящую ставку при любом положении ползунка, а синий пунктир — обещанное число.

время или параметрсумма или ставка

02 · Законы разных стран

Один кредит — восемь чисел в рамке

В 1968 году американский закон Truth in Lending впервые потребовал, чтобы стоимость кредита печаталась одним крупным числом, и с тех пор почти каждая страна завела своё. Все они ищут одну и ту же ставку, при которой полученные деньги уравновешивают будущие платежи, но расходятся в мелочах: умножать ли ставку за месяц на двенадцать или возводить в степень, какие комиссии включать, учитывать ли налог. Задайте кредит в сто тысяч и посмотрите, что напечатают в договоре в разных частях света.

Ставка

Срок

Комиссия

Плата

Почему числа разные

Правила показаны здесь в упрощённом виде. В каждой стране есть подробные списки того, какие платежи входят в полную стоимость, а какие нет, свои потолки ставок и свои допуски на округление. Сравнивать предложения из разных стран честнее всего по одной и той же формуле, лучше всего по эффективной ставке всех ваших собственных платежей.

03 · Шкала ставок

От минуса до тысяч процентов

Ставки в мире различаются в миллион раз: от долей процента на вкладах в странах, где цены годами стоят на месте, до тысяч процентов на займах, которые берут на две недели. На нижнем краю шкалы APR и APY почти совпадают, а на верхнем расходятся в десятки раз, и чем выше ставка, тем важнее спросить, какую из них вам назвали. Полоса здесь логарифмическая, иначе всё, кроме последних строк, слилось бы в точку.

04 · Правило 72

Удвоение в уме

Ещё в 1494 году итальянский монах Лука Пачоли, друг Леонардо да Винчи, записал в своей «Сумме арифметики» хитрое правило: разделите семьдесят два на ставку в процентах, и вы узнаете, за сколько лет деньги удвоятся. Откуда взялось это число, он не объяснил. Разгадка прячется в натуральном логарифме двойки, равном 0,693, а семьдесят два выбрали потому, что оно чуть больше и делится без остатка на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12. Подвиньте ставку и проверьте, как долго правило остаётся точным.

Ставка, APY

удвоения, которые успевают случиться за сорок лет

05 · Правила записи

Верно

Ставку отделяют от знака пробелом и называют её вид: 24 % годовых, начисление ежемесячно.

Эффективную ставку подписывают: 26,82 % APY или эффективная ставка 26,82 %.

Полную стоимость указывают вместе с комиссиями: ПСК 27,9 %, APRC 27,9 %.

Изменение ставки описывают в пунктах: ставку подняли на 0,25 п. п., или на 25 базисных пунктов.

Для вклада указывают, как считают дни в году: 5 % годовых, база 365 дней.

Неверно

Писать 24% без пробела и без указания, какая это ставка.

Утверждать, что 2 % в месяц — это 24 % в год: так верно лишь для APR, а за год набегает 26,82 %.

Говорить «ставка выросла на 0,25 %», имея в виду пункты: рост с 4 до 4,25 % — это шесть с четвертью процентов от прежней ставки.

Называть ставку кредитной карты доходностью APY.

Писать «всего 15 %», не сказав, за какой срок.

06 · Соседние единицы

07 · Исторический раздел

от per cento к %

Заметка

У процента годовых нет эталона, который хранился бы под стеклянным колпаком, как когда-то хранился килограмм. Зато у него есть процедура поверки. Регулятор берёт график платежей из договора, заново решает уравнение, подбирая ставку, при которой выданные деньги равны всем платежам, и сравнивает результат с напечатанным числом. В США расхождение больше одной восьмой процентного пункта уже считается ошибкой, и банк обязан вернуть клиентам переплату.

Ошибки при такой проверке почти всегда одни и те же. Забыли комиссию, которую удержали в день выдачи. Разделили годовую ставку на 360 дней вместо 365 и незаметно прибавили к ней почти полтора процента от её величины. Умножили месячную ставку на двенадцать там, где закон требовал возвести её в двенадцатую степень. Каждая такая мелочь стоит заёмщикам миллионы, и потому законы о раскрытии ставки так подробны.

разрыв простых и сложных

Каталог величин

весь указатель →

основа системы · 7 единиц

Семь основных единиц СИ

по теме листа · деньги, доли и обмен

Лаборатория указателя: стакан с соком капусты, горелка, стакан воды на холодной плите и зубчатая передача

Указатель · все величины на одной странице

Лаборатория у входа в указатель

Капля кислоты меняет цвет сока, соль красит пламя, вода замерзает от стука. Под ними — все листы Simetrium по дисциплинам и по алфавиту.

Открыть указатель →

08 · Ваш язык

каждая ссылка — настоящая страница локали

Читайте на своём языке

переведён и вычитанчерновой переводв очереди