Радиан
Производная единица СИ · величина: плоский угол
01 · Определение
Радиан — единственная единица СИ, которая равна единице. Её размерность — метр на метр, то есть ничего, и формально писать «rad» не обязательно. Но без него не отличить угол от числа.
Один радиан — угол, при котором длина дуги равна радиусу. Отсюда его неудобный вид в градусах: 57 градусов 17 минут 45 секунд. Зато вся математика становится проще: производная синуса равна косинусу только если аргумент в радианах, длина дуги равна произведению угла на радиус, а угловая скорость измеряется в радианах в секунду без всяких переводных коэффициентов. Полный оборот равен 2π радиан, и это единственная причина, по которой число π встречается в тригонометрии на каждой строчке.
Угловая скорость измеряется в радианах в секунду, частота — в герцах, и связаны они множителем 2π. Записать ω в герцах формально можно, поскольку радиан безразмерен, но брошюра СИ этого не допускает: величины разные.
02 · Пересчёт
Введите угол — паспорт пересчитает
Градус пережил метрическую реформу: попытка ввести град, где прямой угол равен ста единицам, провалилась, хотя кнопка GRAD до сих пор есть на инженерных калькуляторах. Артиллерия пользуется тысячными, а геодезия — секундами дуги.
Милирадиан удобен на практике: угол в один миллирадиан даёт смещение один метр на километре дистанции. На этом построены прицельные сетки, лазерная разметка и оценка расстояний в оптике.
| Единица | Название | Значение | Где встречается |
|---|---|---|---|
| rad | радиан, единица СИ | 1 | математика, физика, техника |
| mrad | миллирадиан | 1000 | прицелы, лазеры, оптика |
| µrad | микрорадиан | 1 000 000 | юстировка, автоколлиматор |
| nrad | нанорадиан | 1·10⁹ | интерферометрия |
| об | оборот, 2π радиан | 0,15915 | вращение, обмотки |
| м/м | метр на метр — это и есть 1 | 1 | радиан безразмерен |
| ° | градус, 1/360 круга | 57,3 | быт, геодезия, навигация |
| ′ | минута дуги, 1/60 градуса | 3438 | морские карты, астрономия |
| ″ | секунда дуги | 206 265 | теодолит, астрометрия |
| mas | миллисекунда дуги | 2,063·10⁸ | параллаксы звёзд |
| град | град (гон), 1/400 круга | 63,66 | французская геодезия |
| тыс. | тысячная, 1/6400 оборота | 1019 | артиллерия |
| rad | радиан | 1 | современная единица |
Градус, минута и секунда дуги остаются в СИ как внесистемные единицы — без них не обходятся ни навигация, ни астрономия. Град появился при французской метрической реформе: четверть круга в сто частей, но прижился только в геодезии.
03 · Порядки величин
от разрешения телескопа до полного оборотаОдин радиан — 57,3 градуса
04 · Приборы измерения
Чем измеряют углы
Разделённый круг с отсчётным микроскопом: наводят трубу на цель и снимают отсчёт с точностью до секунды дуги. Геодезист говорит в градусах, минутах и секундах, но встроенный вычислитель переводит их в радианы, потому что иначе тригонометрию не посчитать.
Диск с прорезями на валу: фотоприёмник считает импульсы и делит оборот на тысячи отсчётов. Контроллер робота хранит положение сустава прямо в радианах — так тригонометрия и производные считаются без единого коэффициента.
Посылает параллельный пучок на зеркало и ловит отражение: наклон в микрорадианы сдвигает марку на доли миллиметра. На таких углах синус, тангенс и сам угол совпадают до шестого знака, поэтому прибор просто делит смещение на фокусное расстояние.
Gaia измеряла положения звёзд с точностью около двадцати микросекунд дуги — это десятая доля нанорадиана, толщина волоса с расстояния в две тысячи километров. Углы там считают только в радианах: в градусах числа перестают помещаться в разрядную сетку.
05 · Правила записи
rad можно опустить, а вот градус — нельзя
Поскольку радиан безразмерен, «sin 2» и «sin 2 rad» означают одно и то же, и в математических текстах символ опускают. Но если угол в градусах, знак обязателен: sin 2° отличается от sin 2 в тридцать раз. Символ rad строчный; в дозиметрии тот же «рад» — единица поглощённой дозы, поэтому в русских текстах угол пишут «рад» только с оговоркой.
Градус, минута и секунда дуги в СИ не входят, но допущены к применению. Приставки к ним не применяют: «миллиградус» неверно, вместо него берут секунды дуги или миллирадианы.
06 · Соседние единицы
Радиан и стерадиан — две безразмерные единицы СИ: первая для плоского угла, вторая для телесного. Через радиан определены угловая скорость, угловое ускорение и вся тригонометрия; через стерадиан — сила света и световой поток.
При углах меньше 0,1 радиана синус, тангенс и сам угол совпадают с точностью лучше процента — на этом приближении держится вся оптика и малые колебания маятника.
07 · Исторический раздел
Чем делили круг до радиана
Шестидесятеричный след вавилонской математики: делится на два, три, четыре, пять, шесть без остатка. Поэтому и пережил все реформы.
Метрическая попытка: прямой угол — сто градов, полный круг — четыреста. Осталась в европейской геодезии и на калькуляторах.
Прицельная единица: примерно миллирадиан. В российской традиции круг делят на шесть тысяч, в НАТО — на 6400.
Круг делится на 24 часа по суточному вращению Земли. Прямые восхождения звёзд до сих пор публикуют в часах и минутах.
Единица, которую нельзя убрать и невозможно оставить
Формально радиан равен единице, поэтому Международный комитет по мерам и весам долго спорил о его статусе: в 1960 году его назвали дополнительной единицей, в 1980-м предложили признать безразмерной производной, а в 1995-м приняли компромисс — производная единица с особым именем и размерностью один. Практическая проблема осталась: в формулах вроде ω = 2πf радиан то появляется, то исчезает, и системы контроля размерностей в инженерном софте вынуждены обрабатывать угол как исключение. Предложения дать углу собственную размерность обсуждаются до сих пор.
Каталог · Международная система единиц
Паспорт на каждую величину
Семь базовых единиц, двадцать две производные с собственными именами и архив систем, вышедших из обращения. Каждая — отдельный лист: определение, размерность, пересчёт, приборы, правила записи. На 36 языках.