Момент инерции сечения
Доска 50×200 лежит на пролёте четыре метра, посередине — 3 kN. Положенная на ребро, она прогибается на 12 mm и держит с запасом. Ту же доску кладут плашмя, и под тем же грузом она ломается. Площадь сечения не изменилась, дерево то же. Изменился момент инерции: 3333 cm⁴ на ребре и 208 cm⁴ плашмя — в 16 раз меньше.
Осевой момент инерции — сумма площадок сечения, умноженных на квадрат расстояния до оси: I = ∫y² dA. Материал вдали от оси работает сильнее, поэтому профили делают с полками: металл уносят туда, где он даёт больше. Момент сопротивления W = I / ymax — тот же момент инерции, поделённый на расстояние до самого нагруженного волокна. Первый задаёт жёсткость балки, второй — её прочность.
| Обозначение | Ix, Iy — относительно осей через центр тяжести; Wx, Wy |
| Единицы | I — длина в четвёртой степени: cm⁴, mm⁴, m⁴; W — в третьей: cm³, mm³ |
| Прямоугольник | I = b·h³/12, W = b·h²/6; h — сторона поперёк оси, по направлению нагрузки |
| Перенос оси | теорема Штейнера: I = I₀ + A·a², a — расстояние между осями |
| Где работает | σ = M / W — проверка прочности; f = F·L³ / (48·E·I) — прогиб балки с силой в пролёте |
| Где взять | сортамент проката — таблицы ГОСТ; для любого контура — MASSPROP в AutoCAD |
01 · Определение
Площадь, умноженная на квадрат плеча
При изгибе балка поворачивает сечения: волокна с одной стороны растягиваются, с другой сжимаются, а нейтральная ось посередине не меняет длины. Удлинение волокна пропорционально расстоянию y до оси, напряжение — тоже, а момент этого напряжения добавляет ещё одно y. Поэтому в сумму входит y², и сечение сопротивляется изгибу тем сильнее, чем дальше от оси лежит его материал.
Отсюда куб высоты у прямоугольника: удвоить высоту — значит увеличить I в восемь раз, а W — в четыре. Отсюда же полки у прокатных профилей и пустые трубы: полка, отнесённая от оси на расстояние a, добавляет A·a² по теореме Штейнера. Ширину сечения b нагрузка «не замечает» так сильно: она входит в первой степени.
Тот же металл — другой I
Все сечения в строках имеют одну и ту же площадь — сколько металла на метр балки. Полоса — момент инерции относительно горизонтальной оси, шкала логарифмическая. Справа — I и W. Выберите площадь.
Пять сечений, два положения, одна сила
Главное действие — кнопка «Начать испытание». Балку кладут на две опоры, сверху посередине опускается шток пресса с датчиком силы. Сила растёт до заданной, прогибомер под серединой показывает прогиб, тензодатчик на нижнем волокне — напряжение. Прогиб сравнивают с расчётом f = F·L³/(48·E·I), напряжение — с расчётным сопротивлением материала. Если σ = M / W его превышает, балка теряет прочность: сталь течёт и остаётся согнутой, дерево ломается. Под сценой выбирают сечение — доску, швеллер, рельс, стальную полосу или алюминиевый профиль, — положение «на ребро» или «плашмя» и нагрузку. Ползунок перематывает испытание.
—
02 · Пересчёт
Степень решает: 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴, а 1 cm³ = 1000 mm³. CAD в миллиметрах выдаёт I в mm⁴ — его делят на 10⁴, чтобы сравнить с сортаментом.
Американский сортамент пишет I в in⁴: 1 in⁴ = 41,62 cm⁴, 1 in³ = 16,39 cm³. Балка W8×10 — это 30,8 in⁴, то есть 1282 cm⁴.
| сечение | Ix, cm⁴ | Wx, cm³ | A, cm² | заметка |
| {k} | {v} | {h} | {a} | {n} |
03 · Порядки величин
04 · Приборы измерения
05 · Правила записи
Серия · Черчение и CAD
подсказки на стол к каждому листу06 · Соседние единицы
07 · Исторический раздел
Момент инерции не меряют прибором: его считают по размерам. Поэтому точность I определяется точностью высоты. У полосы 100×10 плашмя ошибка толщины в 0,2 mm — это 2 % толщины и 6 % момента инерции. Прокат имеет плюсовые и минусовые допуски, и таблицы сортамента дают I по номинальным размерам.
Проверку делают испытанием. Балку нагружают ступенями, по прогибу считают E·I и сравнивают с расчётом. Расхождение больше 5–10 % — повод искать причину: сучки и трещины в дереве, неполный провар в сварном сечении, податливость опор. Тензодатчики на волокнах проверяют W тем же способом.
Каталог величин
весь указатель →Семь основных единиц СИ
Капля кислоты меняет цвет сока, соль красит пламя, вода замерзает от стука. Под ними — все листы Simetrium по дисциплинам и по алфавиту.
Открыть указатель →