Radiant
Abgeleitete SI-Einheit · Größe: ebener Winkel
01 · Definition
Das Radiant ist die einzige SI-Einheit, die gleich eins ist. Seine Dimension ist ein Meter je Meter, also gar keine — und dennoch hat es einen Namen, ein Zeichen und einen Platz in der Tabelle der abgeleiteten Einheiten.
Ein Radiant ist der Winkel, bei dem die Bogenlänge gleich dem Radius ist. Daher sein unbequemes Aussehen in Grad: 57 Grad 17 Minuten 45 Sekunden. Dafür wird die ganze Mathematik einfacher: die Ableitung des Sinus ist nur dann der Kosinus, wenn das Argument im Bogenmaß steht, die Bogenlänge ist Winkel mal Radius, und die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant je Sekunde gemessen, ganz ohne Umrechnungsfaktoren. Eine volle Umdrehung sind 2π Radiant, und das ist der einzige Grund, weshalb π in der Trigonometrie in jeder Zeile steht.
Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant je Sekunde gemessen, die Frequenz in Hertz, und beide sind durch den Faktor 2π verbunden. ω in Hertz zu schreiben ist formal möglich, da das Radiant dimensionslos ist, doch die SI-Broschüre lässt es nicht zu: die Größen sind verschieden.
02 · Umrechnung
Geben Sie einen Winkel ein — das Blatt rechnet um
Der Grad überlebte die Metrikreform: der Versuch, das Gon einzuführen, bei dem ein rechter Winkel hundert Einheiten misst, scheiterte überall außer in der französischen Geodäsie. Dreihundertsechzig teilt sich ohne Rest durch zwei, drei, vier, fünf, sechs und neun — diese Bequemlichkeit erwies sich als stärker als die Dezimallogik.
Das Milliradiant ist in der Praxis handlich: ein Winkel von einem Milliradiant ergibt eine Verschiebung von einem Meter auf einen Kilometer Entfernung. Scharfschützen und Artilleristen rechnen eben deshalb in Strich, und das Kopfrechnen läuft auf eine Division hinaus.
| Einheit | Name | Wert | Wo es vorkommt |
|---|---|---|---|
| rad | Radiant, SI-Einheit | 1 | Mathematik, Physik, Technik |
| mrad | Milliradiant | 1000 | Zielfernrohre, Laser, Optik |
| µrad | Mikroradiant | 1 000 000 | Justierung, Autokollimator |
| nrad | Nanoradiant | 1·10⁹ | Interferometrie |
| Umdr. | Umdrehung, 2π Radiant | 0,15915 | Drehung, Wicklungen |
| m/m | ein Meter je Meter — das ist genau 1 | 1 | das Radiant ist dimensionslos |
| ° | Grad, 1/360 Kreis | 57,3 | Alltag, Geodäsie, Navigation |
| ′ | Bogenminute, 1/60 Grad | 3438 | Seekarten, Astronomie |
| ″ | Bogensekunde | 206 265 | Theodolit, Astrometrie |
| mas | Millibogensekunde | 2,063·10⁸ | Sternparallaxen |
| Gon | Gon, 1/400 Kreis | 63,66 | französische Geodäsie |
| Strich | Strich, 1/6400 Umdrehung | 1019 | Artillerie |
| rad | Radiant | 1 | die heutige Einheit |
Grad, Bogenminute und Bogensekunde bleiben im SI als Einheiten außerhalb des Systems — ohne sie kommen weder Navigation noch Astronomie aus. Das Gon entstand bei der französischen Metrikreform: ein Viertelkreis in hundert Teile, doch es setzte sich nur in der Geodäsie durch.
03 · Größenordnungen
von der Auflösung eines Teleskops bis zur vollen UmdrehungEin Radiant — 57,3 Grad
04 · Messgeräte
Womit Winkel gemessen werden
Ein geteilter Kreis mit Ablesemikroskop: das Fernrohr wird auf das Ziel gerichtet und die Ablesung auf die Bogensekunde genau genommen. Der Vermesser spricht in Grad, Minuten und Sekunden, aber der eingebaute Rechner setzt sie in Radiant um, weil sich sonst die Trigonometrie nicht rechnen lässt.
Eine geschlitzte Scheibe auf der Welle: ein Fotoempfänger zählt Impulse und teilt die Umdrehung in Tausende von Zählschritten. Die Steuerung eines Roboters hält die Gelenkstellung unmittelbar im Bogenmaß — so werden Trigonometrie und Ableitungen ohne einen einzigen Faktor gerechnet.
Er schickt ein paralleles Bündel auf einen Spiegel und fängt die Reflexion auf: eine Neigung um Mikroradiant verschiebt die Marke um Bruchteile eines Millimeters. Bei solchen Winkeln stimmen Sinus, Tangens und der Winkel selbst bis zur sechsten Stelle überein, deshalb teilt das Gerät die Verschiebung einfach durch die Brennweite.
Gaia maß die Positionen der Sterne auf etwa zwanzig Mikrobogensekunden genau — ein Zehntel Nanoradiant, die Dicke eines Haares aus zweitausend Kilometern Entfernung. Winkel werden dort nur im Bogenmaß gerechnet: in Grad passen die Zahlen nicht mehr ins Zahlenformat.
05 · Schreibregeln
rad darf man weglassen, das Gradzeichen aber nicht
Da das Radiant dimensionslos ist, bedeuten «sin 2» und «sin 2 rad» dasselbe, und in mathematischen Texten lässt man das Zeichen weg. Steht der Winkel aber in Grad, ist das Zeichen Pflicht: sin 2° unterscheidet sich von sin 2 um das Dreißigfache. Das Zeichen rad ist klein geschrieben; in der Dosimetrie ist dasselbe «rad» eine Einheit der Energiedosis, darum schreibt man den Winkel in russischen Texten nur mit Vorbehalt «рад».
Grad, Bogenminute und Bogensekunde gehören nicht zum SI, sind aber zur Verwendung zugelassen. Vorsätze werden auf sie nicht angewandt: ein Milligrad gibt es nicht, und Bruchteile schreibt man als Minuten und Sekunden oder als Dezimalbruch.
06 · Benachbarte Einheiten
Radiant und Steradiant sind die beiden dimensionslosen SI-Einheiten: die erste für den ebenen, die zweite für den räumlichen Winkel. Beide sind gleich eins, beide haben einen eigenen Namen, und beide bereiten jedem, der Dimensionsprüfungen schreibt, dieselben Kopfschmerzen.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Bei Winkeln unter 0,1 Radiant stimmen Sinus, Tangens und der Winkel selbst auf besser als ein Prozent überein — darauf beruht die ganze Optik kleiner Auslenkungen und die Theorie des Pendels.
07 · Historischer Teil
Womit man den Kreis vor dem Radiant teilte
Eine sexagesimale Spur babylonischer Mathematik: er teilt sich ohne Rest durch zwei, drei, vier, fünf, sechs. Ptolemäus zerlegte den Grad in sechzig Minuten und die Minute in sechzig Sekunden, und die Schreibweise hat achtzehn Jahrhunderte unverändert überdauert.
Ein metrischer Versuch: der rechte Winkel misst hundert Gon, der volle Kreis vierhundert. Es blieb in der europäischen Geodäsie und in den Taschenrechnern dieses Fachs — das Kürzel GRA neben DEG und RAD.
Eine Zieleinheit: ungefähr ein Milliradiant. In der russischen Tradition teilt man den Kreis in sechstausend, in der NATO in 6400. Die Bequemlichkeit ist dieselbe: ein Strich ist ein Meter auf einen Kilometer.
Der Kreis wird nach der täglichen Erdrotation in 24 Stunden geteilt. Rektaszensionen der Sterne werden bis heute in Stunden, Minuten und Sekunden veröffentlicht: eine Stunde sind fünfzehn Grad.
Eine Einheit, die man weder streichen noch behalten kann
Formal ist das Radiant gleich eins, darum stritt das Internationale Komitee für Maß und Gewicht lange über seinen Status: 1960 nannte man es eine ergänzende Einheit, 1980 wurde vorgeschlagen, es als dimensionslose abgeleitete Einheit anzuerkennen, und 1995 kam ein Kompromiss — eine abgeleitete Einheit mit eigenem Namen und der Dimension eins. Das praktische Problem blieb: in Formeln wie ω = 2πf taucht das Radiant auf und verschwindet wieder, und Systeme zur Dimensionsprüfung in technischer Software müssen den Winkel als Ausnahme behandeln.
Katalog · Internationales Einheitensystem
Ein Datenblatt für jede Größe
Sieben Basiseinheiten, zweiundzwanzig abgeleitete mit eigenen Namen und ein Archiv der Systeme, die außer Gebrauch geraten sind. Jede hat ihr eigenes Blatt: Definition, Dimension, Umrechnung, Geräte, Schreibregeln. In 36 Sprachen.