Flächenträgheitsmoment
Eine Bohle 50×200 liegt auf einer Stützweite von vier Metern, in der Mitte 3 kN. Hochkant gelegt, biegt sie sich um 12 mm durch und trägt mit Reserve. Dieselbe Bohle wird flach gelegt, und unter derselben Last bricht sie. Die Querschnittsfläche ist gleich geblieben, das Holz ist dasselbe. Geändert hat sich das Flächenträgheitsmoment: 3333 cm⁴ hochkant und 208 cm⁴ flach — 16-mal weniger.
Das axiale Flächenträgheitsmoment ist die Summe der Flächenelemente des Querschnitts, multipliziert mit dem Quadrat ihres Abstands zur Achse: I = ∫y² dA. Material fern der Achse arbeitet stärker, deshalb erhalten Profile Gurte: Das Metall wird dorthin gebracht, wo es mehr bringt. Das Widerstandsmoment W = I / ymax — dasselbe Flächenträgheitsmoment, geteilt durch den Abstand zur am stärksten beanspruchten Faser. Das erste bestimmt die Steifigkeit des Balkens, das zweite seine Festigkeit.
| Zeichen | Ix, Iy — bezogen auf Achsen durch den Schwerpunkt; Wx, Wy |
| Einheiten | I — Länge hoch vier: cm⁴, mm⁴, m⁴; W — hoch drei: cm³, mm³ |
| Rechteck | I = b·h³/12, W = b·h²/6; h — die Seite quer zur Achse, in Lastrichtung |
| Achsverschiebung | Satz von Steiner: I = I₀ + A·a², a — Abstand zwischen den Achsen |
| Wo es wirkt | σ = M / W — Festigkeitsnachweis; f = F·L³ / (48·E·I) — Durchbiegung eines Balkens mit Einzellast in Feldmitte |
| Woher nehmen | Profiltabellen für Walzprofile — GOST-Tabellen; für jede Kontur — MASSPROP in AutoCAD |
01 · Definition
Fläche mal Quadrat des Hebelarms
Bei Biegung verdreht der Balken seine Querschnitte: Die Fasern auf der einen Seite werden gedehnt, auf der anderen gestaucht, und die neutrale Faser in der Mitte behält ihre Länge. Die Dehnung einer Faser ist proportional zu ihrem Abstand y zur Achse, die Spannung ebenso, und das Moment dieser Spannung bringt noch ein y hinzu. Deshalb geht y² in die Summe ein, und ein Querschnitt widersteht der Biegung umso stärker, je weiter sein Material von der Achse entfernt liegt.
Daher die dritte Potenz der Höhe beim Rechteck: Die Höhe zu verdoppeln heißt, I um das Achtfache zu vergrößern und W um das Vierfache. Daher auch die Gurte der Walzprofile und die hohlen Rohre: Ein Gurt im Abstand a von der Achse bringt nach dem Satz von Steiner A·a² hinzu. Die Breite b «bemerkt» die Last weit weniger: Sie geht in der ersten Potenz ein.
Dasselbe Metall — ein anderes I
Alle Querschnitte in den Zeilen haben dieselbe Fläche — dieselbe Menge Metall pro Meter Balken. Der Balken zeigt das Flächenträgheitsmoment um die waagerechte Achse, logarithmische Skala. Rechts — I und W. Wählen Sie die Fläche.
Fünf Querschnitte, zwei Lagen, eine Kraft
Die Hauptaktion ist die Taste «Versuch starten». Der Balken wird auf zwei Auflager gelegt, von oben senkt sich in der Mitte der Pressenstempel mit Kraftaufnehmer. Die Kraft steigt bis zum eingestellten Wert, der Durchbiegungsmesser unter der Mitte zeigt die Durchbiegung, der Dehnungsmessstreifen an der unteren Faser die Spannung. Die Durchbiegung wird mit der Rechnung f = F·L³/(48·E·I) verglichen, die Spannung mit der Bemessungsfestigkeit des Werkstoffs. Überschreitet σ = M / W diese, versagt der Balken: Stahl fließt und bleibt verbogen, Holz bricht. Unter der Szene wählt man den Querschnitt — Bohle, U-Profil, Schiene, Flachstahl oder Aluminium-Nutprofil —, die Lage «hochkant» oder «flach» und die Last. Der Schieber spult den Versuch vor und zurück.
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02 · Umrechnung
Die Potenz entscheidet: 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴, aber 1 cm³ = 1000 mm³. CAD in Millimetern liefert I in mm⁴ — man teilt durch 10⁴, um mit den Profiltabellen zu vergleichen.
Amerikanische Profiltabellen geben I in in⁴ an: 1 in⁴ = 41,62 cm⁴, 1 in³ = 16,39 cm³. Ein Träger W8×10 hat 30,8 in⁴, also 1282 cm⁴.
| Querschnitt | Ix, cm⁴ | Wx, cm³ | A, cm² | Hinweis |
| {k} | {v} | {h} | {a} | {n} |
03 · Größenordnungen
04 · Messgeräte
05 · Schreibregeln
Reihe · Zeichnen und CAD
Tipps für den Arbeitsplatz zu jedem Blatt06 · Benachbarte Einheiten
07 · Historischer Teil
Das Flächenträgheitsmoment wird nicht mit einem Gerät gemessen: Man berechnet es aus den Abmessungen. Deshalb hängt die Genauigkeit von I an der Genauigkeit der Höhe. Bei einem Flachstahl 100×10 flach ist ein Dickenfehler von 0,2 mm 2 % der Dicke und 6 % des Flächenträgheitsmoments. Walzprofile haben Plus- und Minustoleranzen, und die Profiltabellen geben I für die Nennmaße an.
Geprüft wird durch den Versuch. Der Balken wird stufenweise belastet, aus der Durchbiegung berechnet man E·I und vergleicht es mit der Rechnung. Eine Abweichung von mehr als 5–10 % ist ein Anlass, die Ursache zu suchen: Äste und Risse im Holz, unvollständige Durchschweißung im geschweißten Querschnitt, nachgiebige Auflager. Dehnungsmessstreifen an den Fasern prüfen W auf dieselbe Weise.
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