Pourcentage annuel
Imaginez que vous ayez emprunté de l’argent et que vous payiez chaque mois deux pour cent. Combien cela fait-il par an ? Presque tout le monde répond sans réfléchir : vingt-quatre. Pourtant, les intérêts que vous n’avez pas payés en janvier s’ajoutent à la dette en février, et des intérêts commencent à courir aussi sur eux. En décembre, on n’arrive pas à vingt-quatre mais à près de vingt-sept pour cent. Aucun de ces nombres n’est faux : le premier répond à la question de savoir quel est le taux, le second à celle de savoir combien vous rendrez vraiment.
Le pourcentage annuel est le prix de l’argent dans le temps, ramené à un an, et une même opération peut avoir plusieurs prix de ce genre. Le taux nominal APR multiplie simplement le taux mensuel par le nombre de mois. Le taux effectif APY tient compte des intérêts sur les intérêts. Le coût total du crédit ajoute aux intérêts les frais et les assurances, et le taux ne se calcule alors plus par une formule : on ne peut que le trouver, en essayant des nombres jusqu’à ce que l’argent reçu équilibre tous les paiements futurs. Le taux réel retranche en plus la hausse des prix et répond à la question essentielle : êtes-vous devenu plus riche ?
Conversion
Un taux pour n’importe quelle durée, converti en taux annuel
Saisissez le taux tel qu’on vous l’a annoncé : par an, par mois, par quinzaine ou par jour. À gauche apparaissent toutes ses formes annuelles et périodiques, à droite le temps qu’il faut à ce taux pour doubler et décupler l’argent. Remarquez la rapidité avec laquelle la simple multiplication et la conversion honnête divergent quand la durée devient courte et le taux élevé.
Étymologie
Pour cent, entre et sur parole
Trois mots dont aucun contrat ne peut se passer sont venus du latin, mais chacun a suivi sa route. L’un nomme le compte, l’autre la raison du paiement, et le troisième rappelle que toute dette commence par la confiance.
01 · Définition
Une opération, quatre taux
Le pourcentage annuel indique quelle part de la somme il faut payer pour avoir utilisé l’argent pendant une année entière. Si les intérêts sont versés une fois à la fin de l’année, tout est simple, et le taux du contrat coïncide avec la croissance de la dette. Mais les banques les versent chaque mois, voire chaque jour, et chaque portion créditée devient aussitôt une part de la somme. Il faut alors distinguer le taux nominal, que l’on divise par le nombre de périodes, et le taux effectif, qui montre le résultat de l’année avec tous les intérêts sur les intérêts.
L’écart entre eux croît avec le taux. À cinq pour cent par an, la capitalisation mensuelle n’ajoute que douze centièmes de pour cent, mais à vingt-quatre, près de trois points entiers. Quand s’ajoutent aux intérêts des frais et des paiements de montants différents à des jours différents, il ne reste plus de formule simple. Le coût total du crédit se trouve comme la racine d’une équation : c’est l’unique taux pour lequel l’argent reçu est exactement égal à tous les paiements futurs, ramenés à aujourd’hui. C’est ainsi que fonctionne la calculatrice financière, et aussi le programme du régulateur qui contrôle la banque.
Cent pour cent, découpés en morceaux
Plaçons un rouble à cent pour cent par an et versons les intérêts de plus en plus souvent : une fois par an, tous les six mois, chaque mois, chaque jour, chaque heure. On dirait qu’on peut devenir aussi riche qu’on veut. Choisissez en combien de parts découper l’année et voyez ce que devient le rouble.
Placer, emprunter, vérifier la publicité
Saisissez votre somme et choisissez une devise, et le canevas la dispose en vraies liasses de billets sous bandes de banque. Dans l’expérience « Dépôt », changez le taux, la fréquence de capitalisation, l’impôt et l’inflation : vous verrez quelle part des intérêts croît sur des intérêts et quelle part est rongée par les prix. Dans l’expérience « Crédit », ajoutez des frais et une assurance et regardez comment le taux du contrat devient le coût total. Et dans l’expérience « Piège », démontez les huit procédés qui servent aujourd’hui, partout dans le monde, à cacher le vrai prix de l’argent.
02 · Lois de différents pays
Un crédit, huit nombres dans un cadre
En 1968, la loi américaine Truth in Lending a exigé pour la première fois que le coût du crédit soit imprimé en un seul gros nombre, et depuis presque chaque pays a institué le sien. Tous cherchent le même taux, celui pour lequel l’argent reçu équilibre les paiements futurs, mais ils divergent dans les détails : multiplier le taux mensuel par douze ou l’élever à une puissance, quels frais inclure, tenir compte ou non de l’impôt. Fixez un crédit de cent mille et voyez ce qu’on imprime dans le contrat en différents points du monde.
Les règles sont présentées ici de façon simplifiée. Chaque pays a des listes détaillées des paiements qui entrent dans le coût total et de ceux qui n’y entrent pas, ses propres plafonds de taux et ses propres tolérances d’arrondi. Le plus honnête, pour comparer des offres de pays différents, est d’utiliser la même formule, et le mieux est le taux effectif de tous vos propres paiements.
03 · Échelle des taux
De moins de zéro à des milliers de pour cent
Les taux dans le monde diffèrent d’un facteur d’un million : de fractions de pour cent sur les dépôts dans les pays où les prix stagnent depuis des années, à des milliers de pour cent sur les prêts pris pour deux semaines. En bas de l’échelle, l’APR et l’APY sont presque confondus, en haut ils diffèrent de plusieurs dizaines de fois, et plus le taux est haut, plus il importe de demander lequel on vous a annoncé. La bande est ici logarithmique, sinon tout, sauf les dernières lignes, se réduirait à un point.
04 · Règle de 72
Doubler de tête
Dès 1494, le moine italien Luca Pacioli, ami de Léonard de Vinci, a noté dans sa « Summa de arithmetica » une règle astucieuse : divisez soixante-douze par le taux en pour cent, et vous saurez en combien d’années l’argent double. D’où vient ce nombre, il ne l’a pas expliqué. La clé se cache dans le logarithme népérien de deux, qui vaut 0,693, et l’on a choisi soixante-douze parce qu’il est un peu plus grand et se divise sans reste par 2, 3, 4, 6, 8, 9 et 12. Déplacez le taux et vérifiez jusqu’où la règle reste exacte.
05 · Règles d’écriture
06 · Unités voisines
07 · Section historique
Le pourcentage annuel n’a pas d’étalon conservé sous une cloche de verre, comme l’était jadis le kilogramme. Il a en revanche une procédure de vérification. Le régulateur prend l’échéancier du contrat, résout de nouveau l’équation en cherchant le taux pour lequel l’argent versé est égal à tous les paiements, et compare le résultat au nombre imprimé. Aux États-Unis, un écart de plus d’un huitième de point de pourcentage est déjà considéré comme une erreur, et la banque doit rendre le trop-perçu aux clients.
Les erreurs que révèle un tel contrôle sont presque toujours les mêmes. On a oublié les frais retenus le jour du versement. On a divisé le taux annuel par 360 jours au lieu de 365 et on lui a discrètement ajouté près d’un pour cent et demi de sa propre valeur. On a multiplié le taux mensuel par douze là où la loi exigeait de l’élever à la puissance douze. Chacun de ces détails coûte des millions aux emprunteurs, et c’est pourquoi les lois sur la publication du taux sont si détaillées.
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Une goutte d'acide change la couleur du jus, le sel colore la flamme, l'eau gèle d'un coup. En dessous, toutes les fiches Simetrium, par discipline et par ordre alphabétique.
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