Radian
Unité SI dérivée · grandeur : angle plan
01 · Définition
Le radian est la seule unité du SI qui vaille un. Sa dimension est un mètre par mètre, c’est-à-dire aucune — et pourtant il a un nom, un symbole et une place dans le tableau des unités dérivées.
Un radian est l’angle pour lequel la longueur de l’arc égale le rayon. D’où son aspect incommode en degrés : 57 degrés 17 minutes 45 secondes. En revanche toutes les mathématiques deviennent plus simples : la dérivée du sinus n’est le cosinus que si l’argument est en radians, la longueur d’arc est l’angle multiplié par le rayon, et la vitesse angulaire se mesure en radians par seconde sans le moindre facteur de conversion. Un tour complet vaut 2π radians, et c’est la seule raison pour laquelle π figure à chaque ligne de la trigonométrie.
La vitesse angulaire se mesure en radians par seconde, la fréquence en hertz, et les deux sont liées par un facteur 2π. Écrire ω en hertz est formellement possible, puisque le radian est sans dimension, mais la brochure du SI ne l’admet pas : les grandeurs sont différentes.
02 · Conversion
Entrez un angle — la fiche fera la conversion
Le degré a survécu à la réforme métrique : la tentative d’introduire le grade, où l’angle droit vaut cent unités, a échoué partout sauf dans la géodésie française. Trois cent soixante se divise sans reste par deux, trois, quatre, cinq, six et neuf — cette commodité s’est révélée plus forte que la logique décimale.
Le milliradian est commode en pratique : un angle d’un milliradian donne un décalage d’un mètre à un kilomètre de distance. Tireurs et artilleurs comptent en millièmes précisément pour cela, et le calcul de tête se réduit à une division.
| Unité | Nom | Valeur | Où on le rencontre |
|---|---|---|---|
| rad | radian, unité du SI | 1 | mathématiques, physique, technique |
| mrad | milliradian | 1000 | lunettes, lasers, optique |
| µrad | microradian | 1 000 000 | réglage, autocollimateur |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interférométrie |
| tr | tour, 2π radians | 0,15915 | rotation, bobinages |
| m/m | un mètre par mètre — c’est exactement 1 | 1 | le radian est sans dimension |
| ° | degré, 1/360 de cercle | 57,3 | vie courante, géodésie, navigation |
| ′ | minute d’arc, 1/60 de degré | 3438 | cartes marines, astronomie |
| ″ | seconde d’arc | 206 265 | théodolite, astrométrie |
| mas | milliseconde d’arc | 2,063·10⁸ | parallaxes stellaires |
| grade | grade (gon), 1/400 de cercle | 63,66 | géodésie française |
| millième | millième, 1/6400 de tour | 1019 | artillerie |
| rad | radian | 1 | l’unité actuelle |
Le degré, la minute et la seconde d’arc restent dans le SI comme unités hors système — ni la navigation ni l’astronomie ne s’en passent. Le grade est né de la réforme métrique française : un quart de cercle en cent parties, mais il n’a pris racine que dans la géodésie.
03 · Ordres de grandeur
de la résolution d’un télescope au tour completUn radian — 57,3 degrés
04 · Instruments de mesure
Avec quoi l’on mesure les angles
Un cercle divisé avec microscope de lecture : on pointe la lunette sur la cible et on relève la lecture à la seconde d’arc près. Le géomètre parle en degrés, minutes et secondes, mais le calculateur intégré les convertit en radians, faute de quoi la trigonométrie ne se calcule pas.
Un disque fendu sur l’arbre : un photorécepteur compte les impulsions et divise le tour en milliers de pas. Le contrôleur d’un robot garde la position de l’articulation directement en radians — ainsi trigonométrie et dérivées se calculent sans un seul coefficient.
Il envoie un faisceau parallèle sur un miroir et en recueille la réflexion : une inclinaison de quelques microradians décale la mire de fractions de millimètre. À de tels angles le sinus, la tangente et l’angle lui-même coïncident jusqu’à la sixième décimale, aussi l’appareil divise-t-il simplement le décalage par la distance focale.
Gaia mesurait la position des étoiles à environ vingt microsecondes d’arc — un dixième de nanoradian, l’épaisseur d’un cheveu vu de deux mille kilomètres. Là-bas les angles ne se calculent qu’en radians : en degrés les nombres cessent de tenir dans le format numérique.
05 · Règles d’écriture
rad peut être omis, le signe degré non
Comme le radian est sans dimension, « sin 2 » et « sin 2 rad » signifient la même chose, et dans les textes mathématiques on omet le symbole. Mais si l’angle est en degrés, le signe est obligatoire : sin 2° diffère de sin 2 d’un facteur trente. Le symbole rad s’écrit en minuscules ; en dosimétrie le même « rad » est une unité de dose absorbée, aussi les textes russes n’écrivent-ils l’angle « рад » qu’avec une réserve.
Le degré, la minute et la seconde d’arc ne font pas partie du SI mais sont admis à l’usage. On ne leur applique pas de préfixes : le millidegré n’existe pas, et les fractions s’écrivent en minutes et secondes ou en décimales.
06 · Unités voisines
Le radian et le stéradian sont les deux unités sans dimension du SI : la première pour l’angle plan, la seconde pour l’angle solide. Toutes deux valent un, toutes deux ont un nom propre, et toutes deux causent le même casse-tête à qui écrit des contrôles de dimensions.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Pour des angles inférieurs à 0,1 radian, le sinus, la tangente et l’angle lui-même coïncident à mieux qu’un pour cent — c’est là-dessus que reposent toute l’optique des petites déviations et la théorie du pendule.
07 · Section historique
Comment on divisait le cercle avant le radian
Une trace sexagésimale des mathématiques babyloniennes : il se divise sans reste par deux, trois, quatre, cinq, six. Ptolémée a découpé le degré en soixante minutes et la minute en soixante secondes, et la notation a traversé dix-huit siècles sans changer.
Une tentative métrique : l’angle droit vaut cent grades, le cercle entier quatre cents. Il est resté dans la géodésie européenne et dans les calculatrices de ce métier — le sigle GRA à côté de DEG et RAD.
Une unité de visée : environ un milliradian. Dans la tradition russe on divise le cercle en six mille, à l’OTAN en 6400. La commodité est la même : un millième vaut un mètre à un kilomètre.
Le cercle se divise en 24 heures selon la rotation diurne de la Terre. Les ascensions droites des étoiles se publient encore en heures, minutes et secondes : une heure vaut quinze degrés.
Une unité qu’on ne peut ni supprimer ni conserver
Formellement le radian vaut un, aussi le Comité international des poids et mesures a-t-il longtemps discuté de son statut : en 1960 on l’a appelé unité supplémentaire, en 1980 on a proposé de le reconnaître comme unité dérivée sans dimension, et en 1995 un compromis a été adopté — une unité dérivée portant un nom propre et de dimension un. Le problème pratique est resté : dans des formules comme ω = 2πf le radian apparaît et disparaît, et les systèmes de contrôle des dimensions dans les logiciels d’ingénierie doivent traiter l’angle comme une exception.
Catalogue · Système international d’unités
Une fiche pour chaque grandeur
Sept unités de base, vingt-deux dérivées portant un nom propre et l’archive des systèmes sortis d’usage. Chacune a sa fiche : définition, dimension, conversion, appareils, règles d’écriture. En 36 langues.