Moment quadratique
Une planche 50×200 repose sur une portée de quatre mètres, avec 3 kN au milieu. Posée sur chant, elle fléchit de 12 mm et tient avec de la marge. On pose la même planche à plat, et sous la même charge elle casse. L’aire de la section n’a pas changé, le bois est le même. Ce qui a changé, c’est le moment quadratique : 3333 cm⁴ sur chant et 208 cm⁴ à plat — 16 fois moins.
Le moment quadratique par rapport à un axe est la somme des éléments d’aire de la section, multipliés par le carré de leur distance à l’axe : I = ∫y² dA. La matière éloignée de l’axe travaille davantage, c’est pourquoi les profilés ont des ailes : on porte le métal là où il rapporte le plus. Le module de résistance W = I / ymax — le même moment quadratique, divisé par la distance à la fibre la plus sollicitée. Le premier fixe la rigidité de la poutre, le second sa résistance.
| Notation | Ix, Iy — par rapport aux axes passant par le centre de gravité ; Wx, Wy |
| Unités | I — une longueur à la puissance quatre : cm⁴, mm⁴, m⁴ ; W — à la puissance trois : cm³, mm³ |
| Rectangle | I = b·h³/12, W = b·h²/6 ; h — le côté perpendiculaire à l’axe, dans le sens de la charge |
| Transport d’axe | théorème de Huygens : I = I₀ + A·a², a — distance entre les axes |
| Où elle sert | σ = M / W — vérification de la résistance ; f = F·L³ / (48·E·I) — flèche d’une poutre chargée au milieu de la portée |
| Où la trouver | tables de profilés laminés — tableaux GOST ; pour un contour quelconque — MASSPROP dans AutoCAD |
01 · Définition
L’aire multipliée par le carré du bras de levier
En flexion, la poutre fait tourner ses sections : les fibres d’un côté s’allongent, celles de l’autre se raccourcissent, et l’axe neutre au milieu garde sa longueur. L’allongement d’une fibre est proportionnel à sa distance y à l’axe, la contrainte aussi, et le moment de cette contrainte ajoute encore un y. C’est pourquoi y² entre dans la somme, et une section résiste d’autant mieux à la flexion que sa matière est loin de l’axe.
D’où le cube de la hauteur pour un rectangle : doubler la hauteur, c’est multiplier I par huit et W par quatre. D’où aussi les ailes des profilés laminés et les tubes creux : une aile éloignée de l’axe d’une distance a ajoute A·a² selon le théorème de Huygens. La largeur b, la charge la « remarque » beaucoup moins : elle entre à la puissance un.
Même métal — autre I
Toutes les sections des lignes ont la même aire — la même quantité de métal par mètre de poutre. La barre donne le moment quadratique par rapport à l’axe horizontal, échelle logarithmique. À droite — I et W. Choisissez l’aire.
Cinq sections, deux positions, une seule force
L’action principale est le bouton « Lancer l’essai ». On pose la poutre sur deux appuis, et le poinçon de la presse, muni d’un capteur de force, descend sur son milieu. La force monte jusqu’à la valeur fixée, le comparateur sous le milieu indique la flèche, la jauge de déformation sur la fibre inférieure — la contrainte. On compare la flèche au calcul f = F·L³/(48·E·I), la contrainte à la résistance de calcul du matériau. Si σ = M / W la dépasse, la poutre perd sa résistance : l’acier plastifie et reste plié, le bois casse. Sous la scène, on choisit la section — planche, profilé en U, rail, fer plat ou profilé alu —, la position « sur chant » ou « à plat » et la charge. Le curseur fait défiler l’essai.
—
02 · Conversion
La puissance décide : 1 cm⁴ = 10 000 mm⁴, mais 1 cm³ = 1000 mm³. Une CAO en millimètres donne I en mm⁴ — on le divise par 10⁴ pour le comparer aux tables de profilés.
Les tables américaines donnent I en in⁴ : 1 in⁴ = 41,62 cm⁴, 1 in³ = 16,39 cm³. La poutrelle W8×10, c’est 30,8 in⁴, soit 1282 cm⁴.
| section | Ix, cm⁴ | Wx, cm³ | A, cm² | remarque |
| {k} | {v} | {h} | {a} | {n} |
03 · Ordres de grandeur
04 · Instruments de mesure
05 · Règles d’écriture
Série · Dessin et CAO
aide-mémoire de bureau pour chaque feuille06 · Unités voisines
07 · Section historique
Le moment quadratique ne se mesure pas avec un instrument : on le calcule à partir des cotes. La précision de I dépend donc de celle de la hauteur. Pour un fer plat 100×10 à plat, une erreur d’épaisseur de 0,2 mm représente 2 % de l’épaisseur et 6 % du moment quadratique. Les laminés ont des tolérances en plus et en moins, et les tables de profilés donnent I pour les cotes nominales.
On vérifie par l’essai. On charge la poutre par paliers, on calcule E·I à partir de la flèche et on le compare au calcul. Un écart de plus de 5–10 % est une raison d’en chercher la cause : nœuds et fentes dans le bois, pénétration incomplète dans une section soudée, souplesse des appuis. Les jauges sur les fibres vérifient W de la même façon.
Catalogue des grandeurs
tout l'index →Les sept unités de base du SI
Une goutte d'acide change la couleur du jus, le sel colore la flamme, l'eau gèle d'un coup. En dessous, toutes les fiches Simetrium, par discipline et par ordre alphabétique.
Ouvrir l'index →