Radian
Pochodna jednostka SI · wielkość: kąt płaski
01 · Definicja
Radian to jedyna jednostka SI, która równa się jedności. Jego wymiar to metr na metr, czyli żaden — a mimo to ma nazwę, symbol i miejsce w tablicy jednostek pochodnych.
Jeden radian to kąt, przy którym długość łuku równa się promieniowi. Stąd jego niewygodny wygląd w stopniach: 57 stopni 17 minut 45 sekund. Za to cała matematyka staje się prostsza: pochodna sinusa równa się cosinusowi tylko wtedy, gdy argument jest w radianach, długość łuku to kąt razy promień, a prędkość kątowa mierzy się w radianach na sekundę bez żadnych współczynników przeliczeniowych. Pełny obrót to 2π radianów i jest to jedyny powód, dla którego π występuje w trygonometrii w każdym wierszu.
Prędkość kątowa mierzy się w radianach na sekundę, częstotliwość w hercach, a łączy je czynnik 2π. Zapisać ω w hercach formalnie można, skoro radian jest bezwymiarowy, ale broszura SI na to nie pozwala: to różne wielkości.
02 · Przeliczanie
Wpisz kąt — karta go przeliczy
Stopień przetrwał reformę metryczną: próba wprowadzenia grada, gdzie kąt prosty ma sto jednostek, nie powiodła się nigdzie poza geodezją francuską. Trzysta sześćdziesiąt dzieli się bez reszty przez dwa, trzy, cztery, pięć, sześć i dziewięć — ta wygoda okazała się silniejsza niż logika dziesiętna.
Miliradian jest wygodny w praktyce: kąt jednego miliradiana daje przesunięcie jednego metra na kilometr odległości. Strzelcy i artylerzyści liczą w tysięcznych właśnie dlatego, a rachunek w pamięci sprowadza się do dzielenia.
| Jednostka | Nazwa | Wartość | Gdzie występuje |
|---|---|---|---|
| rad | radian, jednostka SI | 1 | matematyka, fizyka, technika |
| mrad | miliradian | 1000 | celowniki, lasery, optyka |
| µrad | mikroradian | 1 000 000 | justowanie, autokolimator |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interferometria |
| obr. | obrót, 2π radianów | 0,15915 | obrót, uzwojenia |
| m/m | metr na metr — to dokładnie 1 | 1 | radian jest bezwymiarowy |
| ° | stopień, 1/360 koła | 57,3 | życie codzienne, geodezja, nawigacja |
| ′ | minuta łuku, 1/60 stopnia | 3438 | mapy morskie, astronomia |
| ″ | sekunda łuku | 206 265 | teodolit, astrometria |
| mas | milisekunda łuku | 2,063·10⁸ | paralaksy gwiazd |
| grad | grad (gon), 1/400 koła | 63,66 | geodezja francuska |
| tysięczna | tysięczna, 1/6400 obrotu | 1019 | artyleria |
| rad | radian | 1 | jednostka dzisiejsza |
Stopień, minuta i sekunda łuku pozostają w SI jako jednostki spoza układu — bez nich nie obejdzie się ani nawigacja, ani astronomia. Grad powstał przy francuskiej reformie metrycznej: ćwiartka koła na sto części, ale przyjął się tylko w geodezji.
03 · Rzędy wielkości
od rozdzielczości teleskopu po pełny obrótJeden radian — 57,3 stopnia
04 · Przyrządy pomiarowe
Czym mierzy się kąty
Podzielone koło z mikroskopem odczytowym: naprowadza się lunetę na cel i zdejmuje odczyt z dokładnością do sekundy łuku. Geodeta mówi w stopniach, minutach i sekundach, ale wbudowany kalkulator przelicza je na radiany, bo inaczej trygonometrii nie policzy.
Tarcza ze szczelinami na wale: fotoodbiornik liczy impulsy i dzieli obrót na tysiące zliczeń. Sterownik robota trzyma położenie przegubu wprost w radianach — tak trygonometria i pochodne liczą się bez jednego współczynnika.
Wysyła równoległą wiązkę na zwierciadło i łapie odbicie: nachylenie o mikroradiany przesuwa znacznik o ułamki milimetra. Przy takich kątach sinus, tangens i sam kąt zgadzają się do szóstego miejsca, dlatego przyrząd po prostu dzieli przesunięcie przez ogniskową.
Gaia mierzyła położenia gwiazd z dokładnością około dwudziestu mikrosekund łuku — to dziesiąta część nanoradiana, grubość włosa widzianego z dwóch tysięcy kilometrów. Kąty liczy się tam tylko w radianach: w stopniach liczby przestają mieścić się w formacie liczbowym.
05 · Zasady zapisu
rad można opuścić, znaku stopnia nie
Ponieważ radian jest bezwymiarowy, «sin 2» i «sin 2 rad» znaczą to samo, a w tekstach matematycznych symbol się pomija. Ale jeśli kąt jest w stopniach, znak jest obowiązkowy: sin 2° różni się od sin 2 trzydziestokrotnie. Symbol rad pisze się małymi literami; w dozymetrii ten sam «rad» jest jednostką dawki pochłoniętej, dlatego w tekstach rosyjskich kąt zapisuje się «рад» tylko z zastrzeżeniem.
Stopień, minuta i sekunda łuku nie należą do SI, ale są dopuszczone do stosowania. Przedrostków do nich się nie stosuje: milistopnia nie ma, a ułamki zapisuje się jako minuty i sekundy albo dziesiętnie.
06 · Jednostki sąsiednie
Radian i steradian to dwie bezwymiarowe jednostki SI: pierwsza dla kąta płaskiego, druga dla bryłowego. Obie równają się jedności, obie mają własną nazwę i obie przysparzają tego samego kłopotu każdemu, kto pisze kontrolę wymiarów.
Przy kątach mniejszych niż 0,1 radiana sinus, tangens i sam kąt zgadzają się z dokładnością lepszą niż procent — na tym opiera się cała optyka małych odchyleń i teoria wahadła.
07 · Dział historyczny
Czym dzielono koło przed radianem
Sześćdziesiątkowy ślad matematyki babilońskiej: dzieli się bez reszty przez dwa, trzy, cztery, pięć, sześć. Ptolemeusz podzielił stopień na sześćdziesiąt minut, a minutę na sześćdziesiąt sekund, i zapis przetrwał osiemnaście wieków bez zmian.
Próba metryczna: kąt prosty to sto gradów, pełne koło czterysta. Został w geodezji europejskiej i w kalkulatorach tego fachu — skrót GRA obok DEG i RAD.
Jednostka celownicza: mniej więcej miliradian. W tradycji rosyjskiej koło dzieli się na sześć tysięcy, w NATO na 6400. Wygoda jest ta sama: jedna tysięczna to metr na kilometrze.
Koło dzieli się na 24 godziny według dobowego obrotu Ziemi. Rektascensje gwiazd do dziś publikuje się w godzinach, minutach i sekundach: jedna godzina to piętnaście stopni.
Jednostka, której nie da się usunąć ani zostawić
Formalnie radian równa się jedności, dlatego Międzynarodowy Komitet Miar długo spierał się o jego status: w 1960 roku nazwano go jednostką uzupełniającą, w 1980 zaproponowano uznać go za bezwymiarową jednostkę pochodną, a w 1995 przyjęto kompromis — jednostka pochodna z własną nazwą i wymiarem jeden. Kłopot praktyczny został: we wzorach takich jak ω = 2πf radian to się pojawia, to znika, a układy kontroli wymiarów w oprogramowaniu inżynierskim muszą traktować kąt jako wyjątek.
Katalog · Międzynarodowy Układ Jednostek
Karta dla każdej wielkości
Siedem jednostek podstawowych, dwadzieścia dwie pochodne z własnymi nazwami i archiwum układów, które wyszły z użycia. Każda ma swoją kartę: definicja, wymiar, przeliczanie, przyrządy, zasady zapisu. W 36 językach.