راديان
وحدة مشتقة في النظام الدولي · الكمية: الزاوية المستوية
01 · التعريف
الراديان هو الوحدة الوحيدة في النظام الدولي التي تساوي واحدًا. بُعده متر لكل متر، أي لا بُعد له — ومع ذلك له اسم ورمز وموضع في جدول الوحدات المشتقة.
الراديان الواحد هو الزاوية التي يساوي فيها طول القوس نصف القطر. ومن هنا مظهره غير المريح بالدرجات: 57 درجة و17 دقيقة و45 ثانية. وفي المقابل تصير الرياضيات كلها أبسط: مشتقة الجيب تساوي جيب التمام فقط إذا كانت الوسيطة بالراديان، وطول القوس هو الزاوية مضروبة في نصف القطر، والسرعة الزاوية تُقاس بالراديان في الثانية دون أي معاملات تحويل. الدورة الكاملة تساوي 2π راديان، وهذا هو السبب الوحيد لظهور π في حساب المثلثات في كل سطر.
تُقاس السرعة الزاوية بالراديان في الثانية، والتردد بالهرتز، ويربط بينهما المعامل 2π. وكتابة ω بالهرتز ممكنة شكليًا، ما دام الراديان عديم البُعد، لكن كُتيّب النظام الدولي لا يجيزها: الكميتان مختلفتان.
02 · التحويل
أدخل زاوية — البطاقة تحوّلها
نجت الدرجة من الإصلاح المتري: محاولة إدخال الغراد، حيث تساوي الزاوية القائمة مئة وحدة، أخفقت في كل مكان إلا في المساحة الفرنسية. فالثلاثمئة وستون تقبل القسمة بلا باقٍ على اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة وتسعة — وقد ثبت أن هذه السهولة أقوى من منطق العشرات.
المللي راديان مريح عمليًا: زاوية مقدارها مللي راديان واحد تعطي إزاحة متر واحد على مسافة كيلومتر. ولهذا بالذات يحسب القناصة والمدفعيون بالألفيات، ويتحول الحساب الذهني إلى قسمة.
| الوحدة | الاسم | القيمة | أين تُصادَف |
|---|---|---|---|
| rad | راديان، وحدة SI | 1 | رياضيات، فيزياء، تقنية |
| mrad | مللي راديان | 1000 | مناظير، ليزر، بصريات |
| µrad | ميكروراديان | 1 000 000 | ضبط، مسدد ذاتي |
| nrad | نانوراديان | 1·10⁹ | قياس تداخلي |
| دورة | دورة، 2π راديان | 0.15915 | دوران، ملفات |
| m/m | متر لكل متر — هذا بالضبط 1 | 1 | الراديان عديم البُعد |
| ° | درجة، 1/360 دائرة | 57.3 | حياة يومية، مساحة، ملاحة |
| ′ | دقيقة قوسية، 1/60 درجة | 3438 | خرائط بحرية، فلك |
| ″ | ثانية قوسية | 206 265 | ثيودوليت، قياس فلكي |
| mas | مللي ثانية قوسية | 2.063·10⁸ | اختلافات منظر النجوم |
| غراد | غراد (غون)، 1/400 دائرة | 63.66 | مساحة فرنسية |
| ألفية | ألفية، 1/6400 دورة | 1019 | مدفعية |
| rad | راديان | 1 | الوحدة الحالية |
الدرجة والدقيقة والثانية القوسية تبقى في النظام الدولي وحدات من خارج النظام — فلا الملاحة ولا الفلك يستغنيان عنها. أما الغراد فوُلد في الإصلاح المتري الفرنسي: ربع دائرة إلى مئة جزء، لكنه لم يترسخ إلا في المساحة.
03 · رتب المقادير
من قدرة تحليل التلسكوب إلى الدورة الكاملةراديان واحد — 57.3 درجة
04 · أجهزة القياس
بماذا تُقاس الزوايا
دائرة مقسّمة مع مجهر قراءة: يُوجَّه المنظار إلى الهدف وتُؤخذ القراءة بدقة الثانية القوسية. المساح يتكلم بالدرجات والدقائق والثواني، لكن الحاسبة المدمجة تحوّلها إلى راديان، وإلا تعذّر حساب المثلثات.
قرص بشقوق على العمود: مستقبل ضوئي يعدّ النبضات ويقسم الدورة إلى آلاف العدّات. ووحدة تحكم الروبوت تحفظ وضع المفصل بالراديان مباشرة — وهكذا تُحسب المثلثات والمشتقات دون معامل واحد.
يرسل حزمة متوازية على مرآة ويلتقط الانعكاس: ميل بمقدار ميكروراديانات يزيح العلامة كسورًا من المليمتر. وعند مثل هذه الزوايا يتطابق الجيب والظل والزاوية نفسها حتى الرقم السادس، لذلك يكتفي الجهاز بقسمة الإزاحة على البعد البؤري.
قاست غايا مواضع النجوم بدقة نحو عشرين ميكروثانية قوسية — وهي عُشر النانوراديان، سُمك شعرة تُرى من ألفي كيلومتر. والزوايا هناك لا تُحسب إلا بالراديان: بالدرجات تكفّ الأرقام عن الاتساع في صيغة العدد.
05 · قواعد الكتابة
يمكن حذف rad، أما علامة الدرجة فلا
لأن الراديان عديم البُعد فإن «sin 2» و«sin 2 rad» تعنيان الشيء نفسه، وفي النصوص الرياضية يُحذف الرمز. أما إذا كانت الزاوية بالدرجات فالعلامة إلزامية: sin 2° يختلف عن sin 2 بثلاثين مرة. الرمز rad يُكتب بحروف صغيرة؛ وفي قياس الجرعات فإن «rad» نفسه وحدة للجرعة الممتصة، لذلك تُكتب الزاوية في النصوص الروسية «рад» بتحفظ فقط.
الدرجة والدقيقة والثانية القوسية ليست من النظام الدولي لكنها مسموح باستعمالها. ولا تُطبَّق عليها السوابق: لا وجود لمللي درجة، والكسور تُكتب دقائق وثوانٍ أو عشريًا.
06 · الوحدات المجاورة
الراديان والستراديان هما الوحدتان عديمتا البُعد في النظام الدولي: الأولى للزاوية المستوية والثانية للزاوية المجسمة. كلتاهما تساوي واحدًا، ولكل منهما اسم خاص، وكلتاهما تسبّبان الصداع نفسه لمن يكتب فحوص الأبعاد.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
عند زوايا أصغر من 0.1 راديان يتطابق الجيب والظل والزاوية نفسها بدقة أفضل من واحد بالمئة — وعلى هذا تقوم كل بصريات الانحرافات الصغيرة ونظرية البندول.
07 · القسم التاريخي
بماذا كانت تُقسم الدائرة قبل الراديان
أثر ستيني من رياضيات بابل: تقبل القسمة بلا باقٍ على اثنين وثلاثة وأربعة وخمسة وستة. وقسّم بطليموس الدرجة إلى ستين دقيقة والدقيقة إلى ستين ثانية، وعبر هذا الترميز ثمانية عشر قرنًا دون تغيير.
محاولة مترية: الزاوية القائمة مئة غراد، والدائرة الكاملة أربعمئة. بقي في المساحة الأوروبية وفي حاسبات تلك المهنة — الرمز GRA إلى جانب DEG وRAD.
وحدة تصويب: نحو مللي راديان تقريبًا. في التقليد الروسي تُقسم الدائرة إلى ستة آلاف، وفي الناتو إلى 6400. والراحة واحدة: الألفية متر على كيلومتر.
تُقسم الدائرة إلى 24 ساعة وفق دوران الأرض اليومي. ومطالع النجوم المستقيمة تُنشر إلى اليوم بالساعات والدقائق والثواني: الساعة الواحدة خمس عشرة درجة.
وحدة لا يمكن إزالتها ولا يمكن إبقاؤها
شكليًا يساوي الراديان واحدًا، لذلك تنازعت اللجنة الدولية للأوزان والمقاييس طويلًا حول وضعه: في سنة 1960 سمّوه وحدة تكميلية، وفي 1980 اقتُرح الاعتراف به وحدة مشتقة عديمة البُعد، وفي 1995 اعتُمدت تسوية — وحدة مشتقة لها اسم خاص وبُعد يساوي واحدًا. أما المشكلة العملية فبقيت: في صيغ مثل ω = 2πf يظهر الراديان ثم يختفي، وأنظمة فحص الأبعاد في برامج الهندسة مضطرة إلى معاملة الزاوية استثناءً.
الكتالوج · النظام الدولي للوحدات
بطاقة لكل مقدار
سبع وحدات أساسية، واثنتان وعشرون مشتقة لها أسماؤها، وأرشيف الأنظمة التي خرجت من الاستعمال. لكل واحدة بطاقتها: التعريف، البُعد، التحويل، الأجهزة، قواعد الكتابة. بـ 36 لغة.