Das Bel
Wenn ein Schweißer sich den Schutzschirm mit einem Glas der Schutzstufe zehn vors Gesicht klappt, wird der blendende Lichtbogen zu einem ruhigen grünen Funken. Ein solches Glas lässt etwa ein Siebentausendstel des Lichts durch, und diesen Bruch kann man sich kaum merken. Viel bequemer ist es zu sagen, dass das Glas das Licht um 3,9 Bel schwächt. Das Bel zeigt einfach, wie oft man eine Größe durch zehn teilen musste, und deshalb ergeben sich statt sperriger Brüche kleine Zahlen, die man obendrein addieren kann.
Streng genommen ist das Bel der dekadische Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungen. Ist die eine Leistung zehnmal größer als die andere, beträgt der Unterschied ein Bel, bei hundertfacher zwei Bel, und eine Abschwächung auf ein Tausendstel schreibt man als minus drei Bel. Die Einheit ist dimensionslos und vergleicht eine Größe stets mit einem Bezugswert, sodass null Bel keineswegs Leere bedeutet, sondern Gleichheit mit dem Bezug. Vergleicht man dagegen Spannungen, Ströme oder Schalldrücke, muss man bedenken, dass die Leistung mit ihrem Quadrat wächst, und den Logarithmus verdoppeln. Erfunden haben das Bel Ingenieure der Telefontechnik, benannt wurde es nach Alexander Graham Bell, doch fast sofort benutzte man in der Praxis seinen zehnten Teil, das Dezibel.
Umrechnung
Pegel und Faktoren — in beide Richtungen
Geben Sie eine Zahl ein und legen Sie fest, was sie bedeutet: ein Pegel in Bel, Dezibel oder Neper, ein Leistungs- oder Spannungsverhältnis, eine optische Dichte, Belichtungsstufen einer Kamera oder Sterngrößen. Rechts wird dasselbe Verhältnis sogleich auf alle Arten ausgedrückt.
Etymologie
Glocke, Wort und Zahl
Das Bel hat seinen Namen vom Familiennamen des Erfinders des Telefons, sein alter Rivale, das Neper, von der lateinischen Unterschrift des schottischen Lords, der die Logarithmen erfand. Das Wort „Logarithmus“ selbst setzt sich aus zwei griechischen Wörtern zusammen. So stammen drei Begriffe, ohne die keine Nachrichtenleitung berechnet wird, aus Edinburgh, aus dem schottischen Gut Merchiston und aus dem antiken Griechenland.
01 · Definition
Wie oft durch zehn geteilt wurde
Stellen Sie sich einen Verstärker vor, dessen Ausgangsleistung tausendmal größer ist als die Eingangsleistung. Tausend hat drei Nullen, und deshalb beträgt seine Verstärkung drei Bel. Lässt eine Nachrichtenleitung dagegen nur den hunderttausendsten Teil des Signals übrig, so beträgt ihre Dämpfung fünf Bel. Ist das Verhältnis keine runde Zehnerpotenz, so wird die Zahl der Bel gebrochen: Einer Leistungsverdopplung entsprechen zum Beispiel 0,301 Bel, weil zehn hoch 0,301 gerade zwei ergibt.
Der Hauptvorteil des Logarithmus besteht darin, dass er Multiplikation in Addition verwandelt. Ein Signal, das zuerst durch ein Kabel, dann durch einen Verstärker und wieder durch ein Kabel lief, wurde mehrmals hintereinander gedämpft und verstärkt, und all diese Faktoren müsste man multiplizieren, während man Bel nur addieren muss, ohne die Vorzeichen zu vergessen. Zu beachten ist auch, dass die Leistung proportional zum Quadrat von Spannung, Strom oder Schalldruck ist. Deshalb geht in einen aus diesen Größen berechneten Pegel eine Zwei ein, und eine verdoppelte Spannung ergibt nicht 0,301, sondern 0,602 Bel.
Vom Milliardstel bis zur Milliarde
Verschieben Sie den Regler und sehen Sie, wie die lange Zahl, die das Verhältnis ausdrückt, sich zu einer kurzen Zahl in Bel zusammenfaltet. Jedes Rechteck steht für eine Zehnerpotenz: rechts von null wächst die Leistung, links nimmt sie ab.
Dehnen, abdunkeln, verdoppeln
Wählen Sie im Versuch „Leitung“, worüber das Signal läuft und wie weit. Eine Telefonleitung, ein Kabel oder eine Glasfaser nehmen je einige Kilometer ein Bel weg, und der Pegelplan zeigt, wo das Signal im Rauschen untergeht, wenn nicht rechtzeitig ein Verstärker steht. Stellen Sie im Versuch „Gläser“ im Lichtstrahl Filter, Sonnenbrillen und ein Schweißerglas zusammen und überzeugen Sie sich, dass sich ihre Dichten in Bel einfach addieren. Und verdoppeln Sie im Versuch „Amplitude“ die Spannung: Sie sehen, dass die Leistung dabei auf das Vierfache gewachsen ist.
02 · Durchsichtigkeit des Glases
Von hundert Bel bis zu einem Hundertstel Bel je Kilometer
Selbst das beste optische Glas der Mitte des XX. Jahrhunderts verlor auf jedem Kilometer etwa hundert Bel, sodass das Licht darin schon nach einigen Dutzend Metern ganz erlosch. 1966 bewies Charles Kao im englischen Harlow, dass das Licht nicht vom Glas selbst, sondern von Beimengungen darin geschluckt wird, und sagte ein Glas voraus, das nur zwei Bel je Kilometer verlieren würde. Vier Jahre später stellte die amerikanische Firma Corning ein solches Glas tatsächlich her, weitere neun Jahre später brachten japanische Ingenieure die Verluste auf zwei Hundertstel Bel, und die Verbindung zwischen den Kontinenten ging auf Glasfaser über. Die Grafik trägt die Rekordverluste in Bel je Kilometer auf; ihre Skala ist logarithmisch.
03 · Wo das Bel ganz geblieben ist
Fünf Skalen, die wirklich in Bel rechnen
Die Nachrichtentechniker sind längst zu Dezibel übergegangen, in anderen Handwerken aber hat sich der dekadische Logarithmus eines Verhältnisses ganz eingebürgert. Fotografen und Radiologen nennen ihn optische Dichte, Astronomen rechnen darin Sterngrößen, mit zweieinhalb multipliziert, Schweißer wählen danach die Schutzstufe des Filters, und Computerhersteller geben unmittelbar in Bel an, wie laut ihre Geräte sind. Wählen Sie eine Skala und verschieben Sie den Wert, und die Umrechnung zeigt, wie viele Bel das sind und um das Wievielfache sich die Größe ändert.
04 · Bel, Neper und Kabelmeile
Jede Telefonschule rechnete auf ihre Weise
Bis Ende der 1920er-Jahre drückten amerikanische Fernsprechtechniker die Leitungsdämpfung in Standardkabelmeilen aus, also in der Länge eines Normal-Kupferkabels, das ein Gespräch genau so geschwächt hätte. Dieses Maß hing von der Frequenz und von den Eigenschaften des Kabels selbst ab, weshalb man es bei der Firma Bell zuerst durch die Übertragungseinheit und dann durch das Bel und das Dezibel ersetzte. Die europäischen Ingenieure, die die Gleichungen der langen Leitungen lösten, bevorzugten den natürlichen Logarithmus und das Neper, weil sich die Dämpfung in diesen Gleichungen durch eine einzige Exponentialfunktion ohne zusätzliche Faktoren ausdrückt.
Der Internationale Beratende Ausschuss für den Fernsprechdienst erkannte beide Einheiten an, und lange Zeit gaben die Nachschlagewerke Deutschlands, der Sowjetunion und einer Reihe anderer Länder die Dämpfung von Kabeln in Neper je Kilometer an, die amerikanischen und britischen dagegen in Dezibel. Heute hat das Dezibel fast überall gesiegt, und das Neper ist in der Theorie der Stromkreise und in Lehrbüchern geblieben.
Die Standardkabelmeile wurde bei einer Frequenz von 800 Hz definiert, für die das Ohr beim Hören von Sprache besonders empfindlich ist. Bei anderen Frequenzen schwächte dieselbe Meile das Signal anders, und Messungen verschiedener Laboratorien ließen sich schwer vergleichen. Genau dieses Übel beseitigte der Übergang zum reinen Logarithmus des Leistungsverhältnisses.
05 · Schreibregeln
06 · Benachbarte Einheiten
07 · Historischer Teil
1924 schlug William Martin, Ingenieur der Telefongesellschaft Bell, vor, die Kabelmeile durch eine „Übertragungseinheit“ zu ersetzen, die zehn dekadischen Logarithmen des Leistungsverhältnisses entspricht. Sie stimmte fast mit der früheren Meile überein, sodass sich die Fernsprecher mühelos daran gewöhnten und die Berechnung einer Leitung zu einer einfachen Addition wurde. Vier Jahre später, 1928, wurden die Einheiten umbenannt: Der zehnfache Logarithmus wurde zum Dezibel, der Logarithmus ohne Faktor erhielt den Namen Bel.
So entstand in der Metrologie das einzige Paar, bei dem die Haupteinheit fast nie benutzt wird, während ihr zehnter Teil jeder kennt. Das Bel erwies sich als zu groß: Das Ohr bemerkt eine Änderung der Lautstärke von etwa einem Zehntel Bel, und in ganzen Bel ließe sich das Hören nur in einigen groben Stufen beschreiben. In der Optik dagegen blieb der dekadische Logarithmus der Schwächung ganz erhalten, unter dem Namen optische Dichte, in den Datenblättern lauter Technik aber auch unter seinem eigenen Namen, als Bel.
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