Radiaani
Johdettu SI-yksikkö · suure: tasokulma
01 · Määritelmä
Radiaani on ainoa SI-yksikkö, joka on yhtä kuin yksi. Sen ulottuvuus on metri metriä kohti, toisin sanoen ei mitään — ja silti sillä on nimi, tunnus ja paikka johdettujen yksiköiden taulukossa.
Yksi radiaani on kulma, jossa kaaren pituus on yhtä kuin säde. Siitä sen hankala ulkoasu asteina: 57 astetta 17 minuuttia 45 sekuntia. Vastineeksi koko matematiikka yksinkertaistuu: sinin derivaatta on kosini vain jos argumentti on radiaaneina, kaaren pituus on kulma kertaa säde, ja kulmanopeus mitataan radiaaneina sekunnissa ilman minkäänlaisia muunnoskertoimia. Täysi kierros on 2π radiaania, ja se on ainoa syy siihen, että π esiintyy trigonometriassa joka rivillä.
Kulmanopeus mitataan radiaaneina sekunnissa, taajuus hertseinä, ja nämä kaksi sitoo yhteen kerroin 2π. ω:n kirjoittaminen hertseinä on muodollisesti mahdollista, koska radiaani on ulottuvuudeton, mutta SI-esite ei salli sitä: suureet ovat eri.
02 · Muunnos
Syötä kulma — lehti muuntaa sen
Aste selvisi metrisestä uudistuksesta: yritys ottaa käyttöön gooni, jossa suora kulma on sata yksikköä, epäonnistui kaikkialla paitsi ranskalaisessa maanmittauksessa. Kolmesataakuusikymmentä jakautuu ilman jäännöstä kahdella, kolmella, neljällä, viidellä, kuudella ja yhdeksällä — se mukavuus osoittautui vahvemmaksi kuin kymmenjärjestelmän logiikka.
Milliradiaani on käytännössä kätevä: yhden milliradiaanin kulma antaa yhden metrin siirtymän kilometrin etäisyydellä. Tarkka-ampujat ja tykkimiehet laskevat piiruina juuri siksi, ja päässälasku typistyy jakolaskuksi.
| Yksikkö | Nimi | Arvo | Missä esiintyy |
|---|---|---|---|
| rad | radiaani, SI-yksikkö | 1 | matematiikka, fysiikka, tekniikka |
| mrad | milliradiaani | 1000 | tähtäimet, laserit, optiikka |
| µrad | mikroradiaani | 1 000 000 | säätö, autokollimaattori |
| nrad | nanoradiaani | 1·10⁹ | interferometria |
| kierr. | kierros, 2π radiaania | 0,15915 | pyöriminen, käämit |
| m/m | metri metriä kohti — se on täsmälleen 1 | 1 | radiaani on ulottuvuudeton |
| ° | aste, 1/360 ympyrää | 57,3 | arki, maanmittaus, merenkulku |
| ′ | kaariminuutti, 1/60 astetta | 3438 | merikartat, tähtitiede |
| ″ | kaarisekunti | 206 265 | teodoliitti, astrometria |
| mas | millikaarisekunti | 2,063·10⁸ | tähtien parallaksit |
| gooni | gooni, 1/400 ympyrää | 63,66 | ranskalainen maanmittaus |
| piiru | piiru, 1/6400 kierrosta | 1019 | tykistö |
| rad | radiaani | 1 | nykyinen yksikkö |
Aste, kaariminuutti ja kaarisekunti jäävät SI-järjestelmään järjestelmän ulkopuolisina yksikköinä — ilman niitä eivät tule toimeen merenkulku eikä tähtitiede. Gooni syntyi Ranskan metrisessä uudistuksessa: neljännesympyrä sataan osaan, mutta se juurtui vain maanmittaukseen.
03 · Suuruusluokat
kaukoputken erotuskyvystä täyteen kierrokseenYksi radiaani — 57,3 astetta
04 · Mittalaitteet
Millä kulmia mitataan
Jaettu ympyrä lukumikroskoopilla: kaukoputki suunnataan kohteeseen ja lukema otetaan kaarisekunnin tarkkuudella. Maanmittaaja puhuu asteina, minuutteina ja sekunteina, mutta sisäänrakennettu laskin muuntaa ne radiaaneiksi, koska muuten trigonometriaa ei voi laskea.
Uritettu kiekko akselilla: valoilmaisin laskee pulsseja ja jakaa kierroksen tuhansiin lukemiin. Robotin ohjain pitää nivelen asennon suoraan radiaaneina — niin trigonometria ja derivaatat lasketaan ilman ainuttakaan kerrointa.
Se lähettää yhdensuuntaisen säteen peiliin ja ottaa heijastuksen kiinni: muutaman mikroradiaanin kallistus siirtää merkkiä millimetrin murto-osan. Tällaisilla kulmilla sini, tangentti ja itse kulma osuvat yhteen kuudenteen desimaaliin asti, siksi laite yksinkertaisesti jakaa siirtymän polttovälillä.
Gaia mittasi tähtien paikkoja noin kahdenkymmenen mikrokaarisekunnin tarkkuudella — se on kymmenesosa nanoradiaania, hiuksen paksuus kahden tuhannen kilometrin päästä. Kulmat lasketaan siellä vain radiaaneina: asteina luvut eivät enää mahdu lukumuotoon.
05 · Kirjoitussäännöt
rad voidaan jättää pois, astemerkkiä ei
Koska radiaani on ulottuvuudeton, «sin 2» ja «sin 2 rad» tarkoittavat samaa, ja matemaattisissa teksteissä tunnus jätetään pois. Mutta jos kulma on asteina, merkki on pakollinen: sin 2° eroaa sin 2:sta kolmekymmenkertaisesti. Tunnus rad kirjoitetaan pienaakkosin; annosmittauksessa sama «rad» on absorboituneen annoksen yksikkö, siksi venäjänkielisissä teksteissä kulma kirjoitetaan «рад» vain varauksella.
Aste, kaariminuutti ja kaarisekunti eivät kuulu SI-järjestelmään mutta ovat sallittuja käytössä. Etuliitteitä niihin ei sovelleta: milliastetta ei ole, ja osat kirjoitetaan minuutteina ja sekunteina tai desimaaleina.
06 · Naapuriyksiköt
Radiaani ja steradiaani ovat SI:n kaksi ulottuvuudetonta yksikköä: ensimmäinen tasokulmalle, toinen avaruuskulmalle. Molemmat ovat yhtä kuin yksi, molemmilla on oma nimi, ja molemmat tuottavat saman päänvaivan sille, joka kirjoittaa ulottuvuustarkistuksia.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Alle 0,1 radiaanin kulmilla sini, tangentti ja itse kulma osuvat yhteen paremmin kuin prosentin tarkkuudella — sille perustuu koko pienten poikkeamien optiikka ja heilurin teoria.
07 · Historiallinen osa
Millä ympyrä jaettiin ennen radiaania
Kuusikymmenjärjestelmän jälki babylonialaisesta matematiikasta: se jakautuu ilman jäännöstä kahdella, kolmella, neljällä, viidellä, kuudella. Ptolemaios jakoi asteen kuuteenkymmeneen minuuttiin ja minuutin kuuteenkymmeneen sekuntiin, ja merkintätapa on kulkenut kahdeksantoista vuosisataa muuttumatta.
Metrinen yritys: suora kulma on sata goonia, koko ympyrä neljäsataa. Se jäi eurooppalaiseen maanmittaukseen ja tuon alan laskimiin — lyhenne GRA DEG:n ja RAD:n vieressä.
Tähtäysyksikkö: suunnilleen milliradiaani. Venäläisessä perinteessä ympyrä jaetaan kuuteen tuhanteen, Natossa 6400 osaan. Mukavuus on sama: yksi piiru on metri kilometrillä.
Ympyrä jaetaan 24 tuntiin Maan vuorokausipyörähdyksen mukaan. Tähtien rektaskensiot julkaistaan tänäkin päivänä tunteina, minuutteina ja sekunteina: yksi tunti on viisitoista astetta.
Yksikkö, jota ei voi poistaa eikä voi pitää
Muodollisesti radiaani on yhtä kuin yksi, siksi Kansainvälinen paino- ja mittakomitea kiisteli sen asemasta pitkään: vuonna 1960 sitä kutsuttiin lisäyksiköksi, vuonna 1980 ehdotettiin sen tunnustamista ulottuvuudettomaksi johdetuksi yksiköksi, ja vuonna 1995 hyväksyttiin kompromissi — johdettu yksikkö, jolla on oma nimi ja ulottuvuus yksi. Käytännön pulma jäi: kaavoissa kuten ω = 2πf radiaani ilmestyy ja katoaa, ja teknisten ohjelmistojen ulottuvuustarkistukset joutuvat käsittelemään kulmaa poikkeuksena.
Luettelo · Kansainvälinen yksikköjärjestelmä
Kortti jokaiselle suureelle
Seitsemän perusyksikköä, kaksikymmentäkaksi johdettua omine nimineen ja arkisto järjestelmistä, jotka ovat jääneet pois käytöstä. Kullakin on oma lehtensä: määritelmä, ulottuvuus, muunnos, laitteet, kirjoitussäännöt. 36 kielellä.