Le bel
Quand un soudeur abaisse sur son visage un masque garni d’un verre de numéro dix, l’arc aveuglant devient une calme étincelle verte. Un tel verre laisse passer environ un sept-millième de la lumière, et cette fraction n’est pas facile à retenir. Il est bien plus commode de dire que le verre affaiblit la lumière de 3,9 bels. Le bel indique simplement combien de fois il a fallu diviser une grandeur par dix ; au lieu de fractions encombrantes, on obtient donc de petits nombres que l’on peut en outre additionner entre eux.
À proprement parler, le bel est le logarithme décimal du rapport de deux puissances. Si une puissance est dix fois plus grande qu’une autre, l’écart entre elles est d’un bel, si elle l’est cent fois, de deux bels, et un affaiblissement d’un facteur mille s’écrit moins trois bels. L’unité est sans dimension et compare toujours une grandeur à une référence, si bien que zéro bel ne signifie pas du tout le vide, mais l’égalité avec la référence. Lorsqu’on compare des tensions, des courants ou des pressions acoustiques, il faut se rappeler que la puissance croît comme leur carré et doubler le logarithme. Le bel a été imaginé par des ingénieurs de la téléphonie et nommé d’après Alexander Graham Bell, mais presque aussitôt la pratique s’est mise à employer son dixième, le décibel.
Conversion
Niveaux et facteurs — dans les deux sens
Saisissez un nombre et précisez ce qu’il signifie : un niveau en bels, en décibels ou en népers, un rapport de puissances ou de tensions, une densité optique, des crans d’exposition d’un appareil photo ou des magnitudes stellaires. À droite, le même rapport sera aussitôt écrit de toutes ces façons à la fois.
Étymologie
Une cloche, un mot et un nombre
Le bel doit son nom au patronyme de l’inventeur du téléphone, et son vieux rival, le néper, à la signature latine du lord écossais qui inventa les logarithmes. Le mot « logarithme » lui-même est formé de deux mots grecs. Ainsi trois notions sans lesquelles on ne calcule aucune ligne de transmission nous sont venues d’Édimbourg, du domaine écossais de Merchiston et de la Grèce antique.
01 · Définition
Combien de fois on a divisé par dix
Imaginez un amplificateur dont la puissance de sortie est mille fois supérieure à celle d’entrée. Mille compte trois zéros, et son gain est donc de trois bels. Si, en revanche, une ligne de transmission ne laisse du signal qu’un cent-millième, son affaiblissement est de cinq bels. Quand le rapport n’est pas une puissance de dix ronde, le nombre de bels est fractionnaire : au doublement de la puissance correspondent par exemple 0,301 bel, car dix à la puissance 0,301 donne justement deux.
Le principal avantage du logarithme est de transformer la multiplication en addition. Un signal qui a d’abord parcouru un câble, puis traversé un amplificateur et parcouru de nouveau un câble a été plusieurs fois de suite affaibli et amplifié ; il faudrait multiplier tous ces facteurs, alors qu’il suffit d’additionner les bels, sans oublier les signes. Il faut aussi se souvenir que la puissance est proportionnelle au carré de la tension, du courant ou de la pression acoustique. C’est pourquoi un niveau calculé à partir de ces grandeurs comporte un deux, et une tension doublée donne non pas 0,301, mais 0,602 bel.
Du milliardième au milliard
Déplacez le curseur et regardez comment le long nombre qui exprime le rapport se replie en un court nombre de bels. Chaque rectangle représente un ordre décimal : à droite de zéro la puissance croît, à gauche elle décroît.
Étirer, obscurcir, doubler
Dans l’expérience « Ligne », choisissez par quoi passe le signal et sur quelle distance. Un fil téléphonique, un câble ou une fibre de verre retirent un bel tous les quelques kilomètres, et le diagramme des niveaux montrera où le signal se noie dans le bruit si l’on ne place pas à temps un amplificateur. Dans l’expérience « Verres », réunissez dans un faisceau de lumière des filtres, des lunettes de soleil et un verre de soudeur, et assurez-vous que leurs densités en bels s’additionnent simplement. Et dans l’expérience « Amplitude », doublez la tension : vous verrez que la puissance a été multipliée par quatre.
02 · Transparence du verre
De cent bels à un centième de bel par kilomètre
Même le meilleur verre optique du milieu du XXe siècle perdait environ cent bels par kilomètre, si bien que la lumière s’y éteignait complètement au bout de quelques dizaines de mètres. En 1966, dans la ville anglaise de Harlow, Charles Kao démontra que la lumière n’est pas absorbée par le verre lui-même, mais par les impuretés qu’il contient, et prédit un verre qui ne perdrait que deux bels par kilomètre. Quatre ans plus tard, un tel verre fut effectivement fabriqué par la société américaine Corning, neuf ans après, des ingénieurs japonais ramenèrent les pertes à deux centièmes de bel, et les liaisons entre continents passèrent à la fibre. Le graphique porte les pertes records en bels par kilomètre ; son échelle est logarithmique.
03 · Là où le bel est resté entier
Cinq échelles qui comptent vraiment en bels
Les spécialistes des transmissions sont passés depuis longtemps aux décibels, mais, dans d’autres métiers, le logarithme décimal d’un rapport s’est conservé tout entier. Photographes et radiologues l’appellent densité optique, les astronomes y comptent les magnitudes stellaires en multipliant par deux et demi, les soudeurs y choisissent le numéro de teinte de leur filtre, et les fabricants d’ordinateurs indiquent directement en bels le bruit de leurs machines. Choisissez une échelle et déplacez la valeur : la conversion montrera combien de bels cela fait et de combien de fois la grandeur change.
04 · Le bel, le néper et le mille de câble
Chaque école téléphonique comptait à sa façon
Jusqu’à la fin des années 1920, les téléphonistes américains exprimaient l’affaiblissement d’une ligne en milles de câble étalon, c’est-à-dire en longueur d’un câble de cuivre de référence qui aurait affaibli la conversation exactement de la même façon. Cette mesure dépendait de la fréquence et des propriétés du câble lui-même, et c’est pourquoi, chez Bell, on la remplaça d’abord par l’unité de transmission, puis par le bel et le décibel. Les ingénieurs européens, qui résolvaient les équations des longues lignes, préférèrent le logarithme naturel et le néper, parce que, dans ces équations, l’affaiblissement s’exprime par une seule exponentielle sans facteurs superflus.
Le Comité consultatif international des téléphones reconnut les deux unités, et longtemps les manuels de l’Allemagne, de l’Union soviétique et de plusieurs autres pays donnèrent l’affaiblissement des câbles en népers par kilomètre, alors que les manuels américains et britanniques le donnaient en décibels. Aujourd’hui, le décibel l’a emporté presque partout, et le néper est resté dans la théorie des circuits électriques et dans les manuels.
Le mille de câble étalon était défini à la fréquence de 800 Hz, à laquelle l’oreille est particulièrement sensible quand elle écoute la parole. À d’autres fréquences, le même mille affaiblissait le signal autrement, et il était difficile de comparer les mesures de laboratoires différents. C’est précisément ce mal que supprima le passage au logarithme pur du rapport de puissances.
05 · Règles d’écriture
06 · Unités voisines
07 · Section historique
En 1924, William Martin, ingénieur de la compagnie de téléphone Bell, proposa de remplacer le mille de câble par une « unité de transmission » égale à dix logarithmes décimaux du rapport de puissances. Elle coïncidait presque avec l’ancien mille, de sorte que les téléphonistes s’y habituèrent sans peine et que le calcul d’une ligne se réduisit à une simple addition. Quatre ans plus tard, en 1928, les unités furent rebaptisées : le logarithme multiplié par dix devint le décibel, et le logarithme sans facteur reçut le nom de bel.
C’est ainsi que la métrologie se dota de la seule paire où l’unité principale n’est presque pas utilisée, tandis que son dixième est connu de tous. Le bel s’est révélé trop grand : l’oreille remarque un changement d’intensité sonore d’environ un dixième de bel, et en bels entiers l’audition ne se décrirait que par quelques degrés grossiers. En revanche, en optique, le logarithme décimal de l’affaiblissement est resté entier sous le nom de densité optique, et dans les fiches techniques du matériel bruyant sous son propre nom, celui de bel.
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