Ετήσιο ποσοστό
Φανταστείτε ότι δανειστήκατε και πληρώνετε κάθε μήνα δύο τοις εκατό. Πόσο κάνει αυτό τον χρόνο; Σχεδόν όλοι θα απαντήσουν χωρίς σκέψη: είκοσι τέσσερα. Όμως ο τόκος που δεν πληρώσατε τον Ιανουάριο προστίθεται τον Φεβρουάριο στο χρέος και πάνω σε αυτόν αρχίζουν πλέον να υπολογίζονται τόκοι. Μέχρι τον Δεκέμβριο δεν θα έχουν συγκεντρωθεί είκοσι τέσσερα, αλλά σχεδόν είκοσι επτά τοις εκατό. Κανένας από τους δύο αριθμούς δεν είναι ψευδής: ο πρώτος απαντά στο ερώτημα ποιο είναι το επιτόκιο, ο δεύτερος στο πόσα θα δώσετε πραγματικά.
Το ετήσιο ποσοστό είναι η τιμή του χρήματος στον χρόνο, αναγμένη σε έτος, και η ίδια συναλλαγή μπορεί να έχει πολλές τέτοιες τιμές. Το ονομαστικό επιτόκιο APR απλώς πολλαπλασιάζει το μηνιαίο επιτόκιο επί τον αριθμό των μηνών. Το πραγματικό επιτόκιο APY λαμβάνει υπόψη τον τόκο επί τόκου. Το συνολικό κόστος του δανείου προσθέτει στους τόκους προμήθειες και ασφάλιση, και τότε το επιτόκιο δεν υπολογίζεται πια με τύπο, μπορεί μόνο να βρεθεί, δοκιμάζοντας τον αριθμό για τον οποίο τα χρήματα που λήφθηκαν ισορροπούν όλες τις μελλοντικές πληρωμές. Και το πραγματικό επιτόκιο αφαιρεί επιπλέον την άνοδο των τιμών, απαντώντας στο πιο σημαντικό ερώτημα: πλουτίσατε;
Μετατροπή
Επιτόκιο για οποιαδήποτε περίοδο — σε επιτόκιο έτους
Εισαγάγετε το επιτόκιο όπως σας το ανακοίνωσαν: ετήσιο, μηνιαίο, δεκαπενθήμερο ή ημερήσιο. Αριστερά εμφανίζονται όλες οι ετήσιες και περιοδικές μορφές του, και δεξιά σε πόσο χρόνο με τέτοιο επιτόκιο τα χρήματα διπλασιάζονται και δεκαπλασιάζονται. Παρατηρήστε πόσο γρήγορα αποκλίνουν ο απλός πολλαπλασιασμός και ο ειλικρινής υπολογισμός όταν η περίοδος είναι σύντομη και το επιτόκιο υψηλό.
Ετυμολογία
Για εκατό, ανάμεσα και με εμπιστοσύνη
Τρεις λέξεις, χωρίς τις οποίες δεν γίνεται κανένα συμβόλαιο, ήρθαν από τα λατινικά, αλλά η καθεμιά έχει τον δικό της δρόμο. Η μία ονομάζει τον λογαριασμό, η άλλη τον λόγο της πληρωμής, και η τρίτη θυμίζει ότι κάθε χρέος αρχίζει από εμπιστοσύνη.
01 · Ορισμός
Μία συναλλαγή — τέσσερα επιτόκια
Το ετήσιο ποσοστό δείχνει ποιο μέρος του ποσού πρέπει να πληρωθεί επειδή τα χρήματα χρησιμοποιήθηκαν ένα ολόκληρο έτος. Αν ο τόκος προστίθεται μία φορά, στο τέλος του έτους, όλα είναι απλά και το επιτόκιο της σύμβασης συμπίπτει με την αύξηση του χρέους. Οι τράπεζες όμως τον προσθέτουν μηνιαία, ακόμη και ημερησίως, και κάθε προστιθέμενο μέρος γίνεται αμέσως τμήμα του ποσού. Τότε πρέπει να ξεχωρίσουμε το ονομαστικό επιτόκιο, που διαιρείται με τον αριθμό των περιόδων, από το πραγματικό, που δείχνει το αποτέλεσμα του έτους με όλους τους τόκους επί τόκων.
Η απόσταση ανάμεσά τους μεγαλώνει μαζί με το επιτόκιο. Με πέντε τοις εκατό ετησίως ο μηνιαίος ανατοκισμός προσθέτει μόλις δώδεκα εκατοστά του ποσοστού, ενώ με είκοσι τέσσερα σχεδόν τρεις ολόκληρες μονάδες. Όταν δε στους τόκους προστεθούν προμήθειες και πληρωμές διαφορετικού ύψους σε διαφορετικές ημέρες, ο απλός τύπος εξαφανίζεται. Το συνολικό κόστος του δανείου βρίσκεται ως ρίζα εξίσωσης: είναι το μοναδικό επιτόκιο με το οποίο τα χρήματα που λήφθηκαν ισούνται ακριβώς με όλες τις μελλοντικές πληρωμές, αναχθείσες στο σήμερα. Έτσι δουλεύει και η χρηματοοικονομική αριθμομηχανή, και το πρόγραμμα της εποπτικής αρχής που ελέγχει την τράπεζα.
Εκατό τοις εκατό κομμένα σε κομμάτια
Ας καταθέσουμε ένα ευρώ με εκατό τοις εκατό ετησίως και ας προσθέτουμε τόκους όλο και πιο συχνά: μία φορά τον χρόνο, ανά εξάμηνο, μηνιαία, κάθε μέρα, κάθε ώρα. Φαίνεται ότι έτσι μπορεί κανείς να πλουτίσει όσο θέλει. Επιλέξτε σε πόσα μέρη θα κόψετε το έτος και δείτε σε τι θα μετατραπεί το ευρώ.
Καταθέστε, δανειστείτε, ελέγξτε τη διαφήμιση
Γράψτε το ποσό σας και επιλέξτε νόμισμα, και ο καμβάς θα το στοιβάξει σε πραγματικές δέσμες τραπεζογραμματίων με τραπεζικές ταινίες. Στο πείραμα «Κατάθεση» αλλάξτε το επιτόκιο, τη συχνότητα ανατοκισμού, τον φόρο και τον πληθωρισμό: θα δείτε ποιο μέρος των τόκων αυξάνεται πάνω σε τόκους και ποιο μέρος το έφαγαν οι τιμές. Στο πείραμα «Δάνειο» προσθέστε προμήθεια και ασφάλιση και παρακολουθήστε πώς το επιτόκιο της σύμβασης μετατρέπεται σε συνολικό κόστος. Και στο πείραμα «Παγίδα» αναλύστε τα οκτώ κόλπα με τα οποία σήμερα, σε όλον τον κόσμο, κρύβεται η πραγματική τιμή του χρήματος.
02 · Νόμοι διαφόρων χωρών
Ένα δάνειο — οκτώ αριθμοί μέσα σε πλαίσιο
Το 1968 ο αμερικανικός νόμος Truth in Lending απαίτησε για πρώτη φορά το κόστος του δανείου να τυπώνεται με έναν μεγάλο αριθμό, και από τότε σχεδόν κάθε χώρα απέκτησε τον δικό της. Όλοι αναζητούν το ίδιο επιτόκιο, με το οποίο τα χρήματα που λήφθηκαν ισορροπούν τις μελλοντικές πληρωμές, αλλά διαφέρουν στις λεπτομέρειες: αν το μηνιαίο επιτόκιο θα πολλαπλασιάζεται επί δώδεκα ή θα υψώνεται σε δύναμη, ποιες προμήθειες θα περιλαμβάνονται, αν θα υπολογίζεται ο φόρος. Ορίστε ένα δάνειο εκατό χιλιάδων και δείτε τι θα τυπωθεί στη σύμβαση σε διάφορα μέρη του κόσμου.
Οι κανόνες εδώ παρουσιάζονται απλοποιημένα. Σε κάθε χώρα υπάρχουν αναλυτικοί κατάλογοι με τις πληρωμές που περιλαμβάνονται στο συνολικό κόστος και με εκείνες που δεν περιλαμβάνονται, δικά της ανώτατα όρια επιτοκίων και δικές της ανοχές στρογγυλοποίησης. Το πιο δίκαιο είναι να συγκρίνετε προσφορές από διαφορετικές χώρες με τον ίδιο τύπο, και καλύτερα με το πραγματικό επιτόκιο όλων των δικών σας πληρωμών.
03 · Κλίμακα επιτοκίων
Από το μείον ως τις χιλιάδες τοις εκατό
Τα επιτόκια στον κόσμο διαφέρουν κατά ένα εκατομμύριο φορές: από κλάσματα του ποσοστού στις καταθέσεις των χωρών όπου οι τιμές μένουν σταθερές για χρόνια, ως χιλιάδες τοις εκατό στα δάνεια που παίρνονται για δύο εβδομάδες. Στο κάτω άκρο της κλίμακας το APR και το APY σχεδόν συμπίπτουν, ενώ στο πάνω διαφέρουν δεκάδες φορές, και όσο υψηλότερο το επιτόκιο, τόσο πιο σημαντικό είναι να ρωτήσετε ποιο από τα δύο σας είπαν. Η λωρίδα εδώ είναι λογαριθμική, αλλιώς όλα εκτός από τις τελευταίες γραμμές θα συγχωνεύονταν σε μια τελεία.
04 · Ο κανόνας του 72
Διπλασιασμός με το μυαλό
Ήδη το 1494 ο Ιταλός μοναχός Luca Pacioli, φίλος του Λεονάρντο ντα Βίντσι, κατέγραψε στη «Summa de arithmetica» έναν έξυπνο κανόνα: διαιρέστε το εβδομήντα δύο με το επιτόκιο σε ποσοστό και θα μάθετε σε πόσα έτη τα χρήματα διπλασιάζονται. Από πού προέκυψε ο αριθμός, δεν εξήγησε. Η λύση κρύβεται στον φυσικό λογάριθμο του δύο, που ισούται με 0,693, και το εβδομήντα δύο επιλέχθηκε επειδή είναι λίγο μεγαλύτερο και διαιρείται ακριβώς με τα 2, 3, 4, 6, 8, 9 και 12. Μετακινήστε το επιτόκιο και ελέγξτε για πόσο ο κανόνας παραμένει ακριβής.
05 · Κανόνες γραφής
06 · Γειτονικές μονάδες
07 · Ιστορικό μέρος
Το ετήσιο ποσοστό δεν έχει πρότυπο που να φυλάσσεται κάτω από γυάλινο κώδωνα, όπως φυλασσόταν κάποτε το κιλό. Έχει όμως διαδικασία επαλήθευσης. Η εποπτική αρχή παίρνει το πρόγραμμα πληρωμών από τη σύμβαση, λύνει ξανά την εξίσωση, ψάχνοντας το επιτόκιο με το οποίο τα χρήματα που δόθηκαν ισούνται με όλες τις πληρωμές, και συγκρίνει το αποτέλεσμα με τον τυπωμένο αριθμό. Στις ΗΠΑ απόκλιση μεγαλύτερη από το ένα όγδοο της ποσοστιαίας μονάδας θεωρείται ήδη λάθος, και η τράπεζα οφείλει να επιστρέψει στους πελάτες το επιπλέον ποσό που πλήρωσαν.
Τα λάθη σε έναν τέτοιο έλεγχο είναι σχεδόν πάντα τα ίδια. Ξέχασαν την προμήθεια που παρακρατήθηκε την ημέρα της εκταμίευσης. Διαίρεσαν το ετήσιο επιτόκιο με 360 ημέρες αντί για 365 και πρόσθεσαν ανεπαίσθητα σε αυτό σχεδόν ενάμισι τοις εκατό του μεγέθους του. Πολλαπλασίασαν το μηνιαίο επιτόκιο επί δώδεκα εκεί όπου ο νόμος απαιτούσε να υψωθεί στη δωδέκατη δύναμη. Κάθε τέτοια λεπτομέρεια κοστίζει στους δανειολήπτες εκατομμύρια, και γι' αυτό οι νόμοι περί γνωστοποίησης του επιτοκίου είναι τόσο αναλυτικοί.
Κατάλογος μεγεθών
όλο το ευρετήριο →Οι επτά θεμελιώδεις μονάδες του SI
Μια σταγόνα οξέος αλλάζει το χρώμα του χυμού, το αλάτι χρωματίζει τη φλόγα, το νερό παγώνει με ένα χτύπημα. Από κάτω, όλα τα φύλλα του Simetrium κατά επιστήμη και αλφαβητικά.
Άνοιγμα ευρετηρίου →