Ακτίνιο
Παράγωγη μονάδα SI · μέγεθος: επίπεδη γωνία
01 · Ορισμός
Το ακτίνιο είναι η μόνη μονάδα του SI που ισούται με ένα. Η διάστασή του είναι ένα μέτρο ανά μέτρο, δηλαδή καμία — κι όμως έχει όνομα, σύμβολο και θέση στον πίνακα των παράγωγων μονάδων.
Ένα ακτίνιο είναι η γωνία στην οποία το μήκος του τόξου ισούται με την ακτίνα. Εξ ου και η άβολη όψη του σε μοίρες: 57 μοίρες 17 πρώτα λεπτά 45 δεύτερα. Σε αντάλλαγμα όλα τα μαθηματικά απλοποιούνται: η παράγωγος του ημιτόνου είναι το συνημίτονο μόνο αν το όρισμα είναι σε ακτίνια, το μήκος του τόξου είναι η γωνία επί την ακτίνα, και η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο χωρίς κανέναν συντελεστή μετατροπής. Μια πλήρης περιστροφή είναι 2π ακτίνια, και αυτός είναι ο μόνος λόγος που το π εμφανίζεται στην τριγωνομετρία σε κάθε γραμμή.
Η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, η συχνότητα σε χερτζ, και τις δύο τις συνδέει ο παράγοντας 2π. Να γράψει κανείς το ω σε χερτζ είναι τυπικά δυνατό, αφού το ακτίνιο είναι αδιάστατο, αλλά το φυλλάδιο του SI δεν το επιτρέπει: τα μεγέθη είναι διαφορετικά.
02 · Μετατροπή
Δώστε μια γωνία — το δελτίο θα τη μετατρέψει
Η μοίρα επέζησε της μετρικής μεταρρύθμισης: η προσπάθεια να εισαχθεί ο βαθμός, όπου η ορθή γωνία μετρά εκατό μονάδες, απέτυχε παντού εκτός από τη γαλλική γεωδαισία. Το τριακόσια εξήντα διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι και εννέα — αυτή η ευκολία αποδείχθηκε ισχυρότερη από τη δεκαδική λογική.
Το χιλιοστοακτίνιο είναι βολικό στην πράξη: γωνία ενός χιλιοστοακτινίου δίνει μετατόπιση ενός μέτρου σε ένα χιλιόμετρο απόστασης. Οι σκοπευτές και οι πυροβολητές μετρούν σε χιλιοστά ακριβώς γι’ αυτό, και ο νοερός υπολογισμός καταλήγει σε μια διαίρεση.
| Μονάδα | Όνομα | Τιμή | Πού απαντάται |
|---|---|---|---|
| rad | ακτίνιο, μονάδα SI | 1 | μαθηματικά, φυσική, τεχνική |
| mrad | χιλιοστοακτίνιο | 1000 | σκόπευτρα, λέιζερ, οπτική |
| µrad | μικροακτίνιο | 1 000 000 | ευθυγράμμιση, αυτοευθυγραμμιστικό |
| nrad | νανοακτίνιο | 1·10⁹ | συμβολομετρία |
| περ. | περιστροφή, 2π ακτίνια | 0,15915 | περιστροφή, περιελίξεις |
| m/m | ένα μέτρο ανά μέτρο — αυτό είναι ακριβώς 1 | 1 | το ακτίνιο είναι αδιάστατο |
| ° | μοίρα, 1/360 του κύκλου | 57,3 | καθημερινότητα, γεωδαισία, ναυσιπλοΐα |
| ′ | πρώτο λεπτό τόξου, 1/60 της μοίρας | 3438 | ναυτικοί χάρτες, αστρονομία |
| ″ | δεύτερο λεπτό τόξου | 206 265 | θεοδόλιχος, αστρομετρία |
| mas | χιλιοστοδεύτερο τόξου | 2,063·10⁸ | παραλλάξεις άστρων |
| βαθμός | βαθμός (gon), 1/400 του κύκλου | 63,66 | γαλλική γεωδαισία |
| χιλιοστό | χιλιοστό, 1/6400 της περιστροφής | 1019 | πυροβολικό |
| rad | ακτίνιο | 1 | η σημερινή μονάδα |
Η μοίρα, το πρώτο και το δεύτερο λεπτό τόξου παραμένουν στο SI ως μονάδες εκτός συστήματος — ούτε η ναυσιπλοΐα ούτε η αστρονομία τα βγάζουν πέρα χωρίς αυτά. Ο βαθμός γεννήθηκε στη γαλλική μετρική μεταρρύθμιση: ένα τέταρτο κύκλου σε εκατό μέρη, αλλά ρίζωσε μόνο στη γεωδαισία.
03 · Τάξεις μεγέθους
από την ανάλυση ενός τηλεσκοπίου ως την πλήρη περιστροφήΈνα ακτίνιο — 57,3 μοίρες
04 · Όργανα μέτρησης
Με τι μετρώνται οι γωνίες
Διαιρεμένος κύκλος με μικροσκόπιο ανάγνωσης: σκοπεύουν το τηλεσκόπιο στον στόχο και παίρνουν την ένδειξη με ακρίβεια δευτέρου λεπτού τόξου. Ο τοπογράφος μιλά σε μοίρες, πρώτα και δεύτερα λεπτά, αλλά ο ενσωματωμένος υπολογιστής τα μετατρέπει σε ακτίνια, γιατί αλλιώς η τριγωνομετρία δεν υπολογίζεται.
Δίσκος με σχισμές στον άξονα: ένας φωτοδέκτης μετρά παλμούς και χωρίζει την περιστροφή σε χιλιάδες μετρήσεις. Ο ελεγκτής ενός ρομπότ κρατά τη θέση της άρθρωσης κατευθείαν σε ακτίνια — έτσι η τριγωνομετρία και οι παράγωγοι υπολογίζονται χωρίς ούτε έναν συντελεστή.
Στέλνει παράλληλη δέσμη σε καθρέφτη και πιάνει την ανάκλαση: μια κλίση λίγων μικροακτινίων μετατοπίζει το σημάδι κατά κλάσματα του χιλιοστού. Σε τέτοιες γωνίες το ημίτονο, η εφαπτομένη και η ίδια η γωνία συμπίπτουν ως το έκτο ψηφίο, γι’ αυτό το όργανο απλώς διαιρεί τη μετατόπιση με την εστιακή απόσταση.
Το Gaia μετρούσε τις θέσεις των άστρων με ακρίβεια περίπου είκοσι μικροδευτέρων τόξου — είναι το ένα δέκατο του νανοακτινίου, το πάχος μιας τρίχας από δύο χιλιάδες χιλιόμετρα. Εκεί οι γωνίες υπολογίζονται μόνο σε ακτίνια: σε μοίρες οι αριθμοί παύουν να χωρούν στη μορφή αριθμού.
05 · Κανόνες γραφής
το rad μπορεί να παραλειφθεί, το σημείο της μοίρας όχι
Επειδή το ακτίνιο είναι αδιάστατο, «sin 2» και «sin 2 rad» σημαίνουν το ίδιο, και στα μαθηματικά κείμενα το σύμβολο παραλείπεται. Αν όμως η γωνία είναι σε μοίρες, το σημείο είναι υποχρεωτικό: το sin 2° διαφέρει από το sin 2 κατά τριάντα φορές. Το σύμβολο rad γράφεται με πεζά· στη δοσιμετρία το ίδιο «rad» είναι μονάδα απορροφούμενης δόσης, γι’ αυτό στα ρωσικά κείμενα η γωνία γράφεται «рад» μόνο με επιφύλαξη.
Η μοίρα, το πρώτο και το δεύτερο λεπτό τόξου δεν ανήκουν στο SI αλλά επιτρέπονται στη χρήση. Προθέματα δεν εφαρμόζονται σε αυτά: χιλιοστόμοιρα δεν υπάρχει, και τα κλάσματα γράφονται ως πρώτα και δεύτερα λεπτά ή δεκαδικά.
06 · Γειτονικές μονάδες
Το ακτίνιο και το στερακτίνιο είναι οι δύο αδιάστατες μονάδες του SI: η πρώτη για την επίπεδη, η δεύτερη για τη στερεά γωνία. Και οι δύο ισούνται με ένα, και οι δύο έχουν δικό τους όνομα, και οι δύο προκαλούν τον ίδιο πονοκέφαλο σε όποιον γράφει ελέγχους διαστάσεων.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Σε γωνίες μικρότερες από 0,1 ακτίνιο το ημίτονο, η εφαπτομένη και η ίδια η γωνία συμπίπτουν με ακρίβεια καλύτερη του ενός τοις εκατό — πάνω σε αυτό στηρίζεται όλη η οπτική των μικρών αποκλίσεων και η θεωρία του εκκρεμούς.
07 · Ιστορικό μέρος
Με τι χωριζόταν ο κύκλος πριν από το ακτίνιο
Εξηκονταδικό ίχνος των βαβυλωνιακών μαθηματικών: διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι. Ο Πτολεμαίος χώρισε τη μοίρα σε εξήντα πρώτα λεπτά και το πρώτο λεπτό σε εξήντα δεύτερα, και η γραφή πέρασε δεκαοχτώ αιώνες αμετάβλητη.
Μετρική απόπειρα: η ορθή γωνία μετρά εκατό βαθμούς, ο ολόκληρος κύκλος τετρακόσιους. Έμεινε στην ευρωπαϊκή γεωδαισία και στα κομπιουτεράκια εκείνου του επαγγέλματος — η ένδειξη GRA δίπλα στο DEG και το RAD.
Μονάδα σκόπευσης: περίπου ένα χιλιοστοακτίνιο. Στη ρωσική παράδοση ο κύκλος χωρίζεται σε έξι χιλιάδες, στο ΝΑΤΟ σε 6400. Η ευκολία είναι η ίδια: ένα χιλιοστό είναι ένα μέτρο σε ένα χιλιόμετρο.
Ο κύκλος χωρίζεται σε 24 ώρες κατά την ημερήσια περιστροφή της Γης. Οι ορθές αναφορές των άστρων δημοσιεύονται ως σήμερα σε ώρες, πρώτα και δεύτερα λεπτά: μία ώρα είναι δεκαπέντε μοίρες.
Μονάδα που ούτε να αφαιρεθεί μπορεί ούτε να κρατηθεί
Τυπικά το ακτίνιο ισούται με ένα, γι’ αυτό η Διεθνής Επιτροπή Μέτρων και Σταθμών διαφωνούσε επί μακρόν για το καθεστώς του: το 1960 το ονόμασαν συμπληρωματική μονάδα, το 1980 προτάθηκε να αναγνωριστεί ως αδιάστατη παράγωγη μονάδα, και το 1995 υιοθετήθηκε συμβιβασμός — παράγωγη μονάδα με δικό της όνομα και διάσταση ένα. Το πρακτικό πρόβλημα έμεινε: σε τύπους όπως ω = 2πf το ακτίνιο εμφανίζεται και εξαφανίζεται, και τα συστήματα ελέγχου διαστάσεων στο μηχανολογικό λογισμικό αναγκάζονται να μεταχειρίζονται τη γωνία ως εξαίρεση.
Κατάλογος · Διεθνές Σύστημα Μονάδων
Ένα δελτίο για κάθε μέγεθος
Επτά θεμελιώδεις μονάδες, είκοσι δύο παράγωγες με δικό τους όνομα και το αρχείο των συστημάτων που έπαψαν να χρησιμοποιούνται. Καθεμιά έχει το δελτίο της: ορισμός, διάσταση, μετατροπή, όργανα, κανόνες γραφής. Σε 36 γλώσσες.