رادیان
یکای فرعی SI · کمیت: زاویهٔ مسطح
01 · تعریف
رادیان تنها یکای SI است که برابر یک است. بُعدش متر بر متر است، یعنی هیچ — و با این همه نام و نماد و جایی در جدول یکاهای فرعی دارد.
یک رادیان زاویهای است که در آن درازای کمان با شعاع برابر میشود. از همینجاست ظاهر ناخوشایندش به درجه: ۵۷ درجه و ۱۷ دقیقه و ۴۵ ثانیه. در عوض همهٔ ریاضیات سادهتر میشود: مشتق سینوس تنها هنگامی کسینوس است که آرگومان به رادیان باشد، درازای کمان زاویه ضرب در شعاع است، و سرعت زاویهای بی هیچ ضریب تبدیلی به رادیان بر ثانیه سنجیده میشود. یک دور کامل ۲π رادیان است، و این تنها دلیل حضور π در هر سطر مثلثات است.
سرعت زاویهای به رادیان بر ثانیه سنجیده میشود، بسامد به هرتز، و این دو را ضریب ۲π به هم میبندد. نوشتن ω به هرتز بهظاهر شدنی است، چون رادیان بیبُعد است، اما دفترچهٔ SI آن را روا نمیدارد: کمیتها جدایند.
02 · تبدیل
زاویهای وارد کنید — برگه آن را برمیگرداند
درجه از اصلاح متری جان به در برد: کوشش برای آوردن گراد، که در آن زاویهٔ قائمه صد یکا است، همهجا جز نقشهبرداری فرانسه شکست خورد. سیصد و شصت بی باقیمانده بر دو و سه و چهار و پنج و شش و نه بخش میشود — و این آسانی از منطق دهدهی نیرومندتر درآمد.
میلیرادیان در عمل خوشدست است: زاویهای به اندازهٔ یک میلیرادیان در یک کیلومتر فاصله جابهجایی یک متر میدهد. تکتیراندازان و توپچیها درست به همین سبب به هزارم میشمارند، و حساب ذهنی به یک تقسیم فرو میکاهد.
| یکا | نام | مقدار | کجا دیده میشود |
|---|---|---|---|
| rad | رادیان، یکای SI | 1 | ریاضی، فیزیک، فن |
| mrad | میلیرادیان | 1000 | دوربینهای نشانهروی، لیزر، اپتیک |
| µrad | میکرورادیان | 1 000 000 | تنظیم، خودراستبین |
| nrad | نانورادیان | 1·10⁹ | تداخلسنجی |
| دور | دور، ۲π رادیان | 0.15915 | چرخش، سیمپیچ |
| m/m | متر بر متر — این درست ۱ است | 1 | رادیان بیبُعد است |
| ° | درجه، ۱/۳۶۰ دایره | 57.3 | زندگی روزمره، نقشهبرداری، دریانوردی |
| ′ | دقیقهٔ کمانی، ۱/۶۰ درجه | 3438 | نقشههای دریایی، اخترشناسی |
| ″ | ثانیهٔ کمانی | 206 265 | تئودولیت، اخترسنجی |
| mas | میلیثانیهٔ کمانی | 2.063·10⁸ | اختلاف منظر ستارگان |
| گراد | گراد (گون)، ۱/۴۰۰ دایره | 63.66 | نقشهبرداری فرانسه |
| هزارم | هزارم، ۱/۶۴۰۰ دور | 1019 | توپخانه |
| rad | رادیان | 1 | یکای امروزی |
درجه و دقیقه و ثانیهٔ کمانی در SI بهعنوان یکاهای بیرون از دستگاه میمانند — نه دریانوردی از آنها بینیاز است نه اخترشناسی. گراد در اصلاح متری فرانسه زاده شد: ربع دایره به صد پاره، اما تنها در نقشهبرداری ریشه دواند.
03 · مرتبههای بزرگی
از توان تفکیک تلسکوپ تا دور کاملیک رادیان — ۵۷٫۳ درجه
04 · ابزارهای اندازهگیری
زاویهها را با چه میسنجند
دایرهٔ مدرج با ریزبین قرائت: دوربین را به هدف نشانه میروند و قرائت را با دقت ثانیهٔ کمانی برمیدارند. نقشهبردار به درجه و دقیقه و ثانیه سخن میگوید، اما حسابگر درونساخت آنها را به رادیان برمیگرداند، وگرنه مثلثات را نمیتوان حساب کرد.
صفحهای شکافدار روی محور: گیرندهٔ نوری تپشها را میشمارد و دور را به هزاران شمارش بخش میکند. کنترلر ربات جای مفصل را یکراست به رادیان نگه میدارد — چنین است که مثلثات و مشتقها بی حتی یک ضریب حساب میشوند.
باریکهای موازی به آینه میفرستد و بازتاب را میگیرد: کجشدنی به اندازهٔ چند میکرورادیان نشانه را کسری از میلیمتر جابهجا میکند. در چنین زاویههایی سینوس و تانژانت و خود زاویه تا رقم ششم بر هم میافتند، پس دستگاه تنها جابهجایی را بر فاصلهٔ کانونی بخش میکند.
گایا جای ستارگان را با دقت نزدیک بیست میکروثانیهٔ کمانی سنجید — این یکدهم نانورادیان است، ستبری یک تار مو از دو هزار کیلومتری. زاویهها را آنجا تنها به رادیان میشمارند: به درجه اعداد دیگر در قالب عددی نمیگنجند.
05 · قواعد نگارش
rad را میتوان انداخت، نشان درجه را نه
چون رادیان بیبُعد است، «sin 2» و «sin 2 rad» یک معنا دارند، و در متنهای ریاضی نماد را میاندازند. اما اگر زاویه به درجه باشد، نشانه الزامی است: sin 2° با sin 2 سی برابر فرق دارد. نماد rad با حروف کوچک نوشته میشود؛ در پرتوسنجی همان «rad» یکای دوز جذبشده است، از این رو در متنهای روسی زاویه را تنها با احتیاط «рад» مینویسند.
درجه و دقیقه و ثانیهٔ کمانی از SI نیستند اما کاربردشان روا است. پیشوندها بر آنها به کار نمیرود: میلیدرجه وجود ندارد، و کسرها را دقیقه و ثانیه یا اعشاری مینویسند.
06 · یکاهای همسایه
رادیان و استرادیان دو یکای بیبُعد SI هستند: نخستین برای زاویهٔ مسطح، دومی برای زاویهٔ فضایی. هر دو برابر یکاند، هر دو نام ویژهٔ خود را دارند، و هر دو برای کسی که بررسی بُعد مینویسد همان دردسر را میسازند.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
در زاویههای کمتر از ۰٫۱ رادیان سینوس و تانژانت و خود زاویه بهتر از یک درصد بر هم میافتند — و همهٔ اپتیک انحرافهای کوچک و نظریهٔ آونگ بر همین استوار است.
07 · بخش تاریخی
پیش از رادیان دایره را با چه بخش میکردند
ردی شصتگانی از ریاضیات بابلی: بی باقیمانده بر دو و سه و چهار و پنج و شش بخش میشود. بطلمیوس درجه را به شصت دقیقه و دقیقه را به شصت ثانیه بخش کرد، و این نگارش هجده سده بی دگرگونی گذشت.
کوششی متری: زاویهٔ قائمه صد گراد، دایرهٔ کامل چهارصد. در نقشهبرداری اروپا و در ماشینحسابهای آن پیشه ماند — نشان GRA کنار DEG و RAD.
یکای نشانهروی: کمابیش یک میلیرادیان. در سنت روسی دایره را به شش هزار بخش میکنند، در ناتو به ۶۴۰۰. آسانی همان است: یک هزارم یک متر در یک کیلومتر.
دایره بر پایهٔ گردش روزانهٔ زمین به ۲۴ ساعت بخش میشود. بعد راست ستارگان تا امروز به ساعت و دقیقه و ثانیه منتشر میشود: یک ساعت پانزده درجه است.
یکایی که نه میتوان برداشت و نه میتوان نگه داشت
بهظاهر رادیان برابر یک است، از این رو کمیتهٔ بینالمللی اوزان و مقادیر دیرزمانی بر سر جایگاه آن کشمکش داشت: در ۱۹۶۰ آن را یکای مکمل نامیدند، در ۱۹۸۰ پیشنهاد شد آن را یکای فرعی بیبُعد بشناسند، و در ۱۹۹۵ سازشی پذیرفته شد — یکای فرعی با نام ویژه و بُعد یک. اما دشواری عملی ماند: در فرمولهایی مانند ω = 2πf رادیان گاه پیدا و گاه ناپیدا میشود، و سامانههای بررسی بُعد در نرمافزار مهندسی ناچارند زاویه را استثنا بشمارند.
فهرست · دستگاه بینالمللی یکاها
شناسنامهای برای هر کمیت
هفت یکای پایه، بیست و دو یکای فرعی با نام خود، و بایگانی دستگاههایی که از کاربرد افتادهاند. هر یک برگهٔ خود را دارد: تعریف، بُعد، تبدیل، ابزارها، قواعد نگارش. به ۳۶ زبان.