Radián
Származtatott SI-egység · mennyiség: síkszög
01 · Meghatározás
A radián az egyetlen SI-egység, amely egyenlő eggyel. Dimenziója egy méter méterenként, azaz semmilyen — és mégis van neve, jele és helye a származtatott egységek táblázatában.
Egy radián az a szög, amelynél az ív hossza egyenlő a sugárral. Innen a kényelmetlen alakja fokban: 57 fok 17 perc 45 másodperc. Cserébe az egész matematika egyszerűbb lesz: a szinusz deriváltja csak akkor koszinusz, ha az argumentum radiánban van, az ívhossz a szög szorozva a sugárral, a szögsebességet pedig radián per másodpercben mérik, minden átváltási tényező nélkül. Egy teljes fordulat 2π radián, és egyedül ez az oka annak, hogy a π a trigonometriában minden sorban ott áll.
A szögsebességet radián per másodpercben mérik, a frekvenciát hertzben, és a kettőt a 2π tényező köti össze. Az ω-t hertzben írni formálisan lehetséges, hiszen a radián dimenzió nélküli, de az SI-füzet nem engedi: a mennyiségek különbözőek.
02 · Átszámítás
Adjon meg egy szöget — a lap átváltja
A fok túlélte a metrikus reformot: a gon bevezetésének kísérlete, ahol a derékszög száz egység, mindenütt megbukott a francia földmérésen kívül. A háromszázhatvan maradék nélkül osztható kettővel, hárommal, néggyel, öttel, hattal és kilenccel — ez a kényelem erősebbnek bizonyult a tizes logikánál.
A milliradián a gyakorlatban kényelmes: egy milliradiános szög egy méter elmozdulást ad egy kilométer távolságban. A mesterlövészek és a tüzérek épp ezért számolnak ezredekben, és a fejszámolás egy osztásra egyszerűsödik.
| Egység | Név | Érték | Hol fordul elő |
|---|---|---|---|
| rad | radián, SI-egység | 1 | matematika, fizika, technika |
| mrad | milliradián | 1000 | célzók, lézerek, optika |
| µrad | mikroradián | 1 000 000 | beállítás, autokollimátor |
| nrad | nanoradián | 1·10⁹ | interferometria |
| ford. | fordulat, 2π radián | 0,15915 | forgás, tekercselés |
| m/m | egy méter méterenként — ez pontosan 1 | 1 | a radián dimenzió nélküli |
| ° | fok, a kör 1/360-a | 57,3 | hétköznapok, földmérés, navigáció |
| ′ | ívperc, a fok 1/60-a | 3438 | tengeri térképek, csillagászat |
| ″ | ívmásodperc | 206 265 | teodolit, asztrometria |
| mas | milliívmásodperc | 2,063·10⁸ | csillagparallaxisok |
| gon | gon, a kör 1/400-a | 63,66 | francia földmérés |
| ezred | ezred, a fordulat 1/6400-a | 1019 | tüzérség |
| rad | radián | 1 | a mai egység |
A fok, az ívperc és az ívmásodperc a rendszeren kívüli egységként marad az SI-ben — sem a navigáció, sem a csillagászat nem boldogul nélkülük. A gon a francia metrikus reformkor született: negyed kör száz részre, de csak a földmérésben vert gyökeret.
03 · Nagyságrendek
egy távcső felbontásától a teljes fordulatigEgy radián — 57,3 fok
04 · Mérőeszközök
Mivel mérik a szögeket
Osztott kör leolvasó mikroszkóppal: a távcsövet a célra irányítják, és a leolvasást ívmásodperc pontossággal veszik. A földmérő fokban, percben és másodpercben beszél, de a beépített számoló radiánra váltja őket, mert különben a trigonometria nem számolható.
Réselt tárcsa a tengelyen: egy fotódetektor impulzusokat számol, és a fordulatot ezernyi leolvasásra osztja. Egy robot vezérlője a csukló állását közvetlenül radiánban tartja — így a trigonometria és a deriváltak egyetlen együttható nélkül számolhatók.
Párhuzamos nyalábot küld tükörre és elkapja a visszaverődést: néhány mikroradiános dőlés milliméter törtrészeivel tolja el a jelet. Ilyen szögeknél a szinusz, a tangens és maga a szög a hatodik jegyig egyezik, ezért a műszer egyszerűen elosztja az elmozdulást a fókusztávolsággal.
A Gaia mintegy húsz mikroívmásodperc pontossággal mérte a csillagok helyzetét — ez a nanoradián tizede, egy hajszál vastagsága kétezer kilométerről nézve. Ott a szögeket csak radiánban számolják: fokban a számok már nem férnek bele a számformátumba.
05 · Írásszabályok
a rad elhagyható, a fokjel nem
Mivel a radián dimenzió nélküli, a «sin 2» és a «sin 2 rad» ugyanazt jelenti, és a matematikai szövegekben a jelet elhagyják. De ha a szög fokban van, a jel kötelező: a sin 2° harmincszorosan különbözik a sin 2-től. A rad jelet kisbetűvel írjuk; a dozimetriában ugyanaz a «rad» az elnyelt dózis egysége, ezért az orosz szövegekben a szöget csak fenntartással írják «рад»-nak.
A fok, az ívperc és az ívmásodperc nem tartozik az SI-hez, de használatuk megengedett. Előtagot nem alkalmaznak rájuk: millifok nincs, a törtrészeket pedig percként és másodpercként vagy tizedes törtként írják.
06 · Szomszédos egységek
A radián és a szteradián az SI két dimenzió nélküli egysége: az első a síkszögre, a második a térszögre. Mindkettő egyenlő eggyel, mindkettőnek saját neve van, és mindkettő ugyanazt a fejtörést okozza annak, aki dimenzióellenőrzést ír.
A 0,1 radiánnál kisebb szögeknél a szinusz, a tangens és maga a szög egy százaléknál jobban egyezik — ezen nyugszik a kis kitérések egész optikája és az inga elmélete.
07 · Történeti rész
Mivel osztották a kört a radián előtt
A babiloni matematika hatvanas nyoma: maradék nélkül osztható kettővel, hárommal, néggyel, öttel, hattal. Ptolemaiosz a fokot hatvan percre, a percet hatvan másodpercre osztotta, és az írásmód tizennyolc évszázadot élt túl változatlanul.
Metrikus kísérlet: a derékszög száz gon, a teljes kör négyszáz. Megmaradt az európai földmérésben és e szakma számológépeiben — a GRA felirat a DEG és a RAD mellett.
Célzóegység: körülbelül egy milliradián. Az orosz hagyományban a kört hatezerre osztják, a NATO-ban 6400-ra. A kényelem ugyanaz: egy ezred egy méter egy kilométeren.
A kört a Föld napi forgása szerint 24 órára osztják. A csillagok rektaszcenzióit ma is órában, percben és másodpercben közlik: egy óra tizenöt fok.
Egy egység, amelyet sem elhagyni, sem megtartani nem lehet
Formálisan a radián egyenlő eggyel, ezért a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Bizottság sokáig vitázott a helyzetéről: 1960-ban kiegészítő egységnek nevezték, 1980-ban javasolták, hogy ismerjék el dimenzió nélküli származtatott egységnek, 1995-ben pedig kompromisszum született — származtatott egység saját névvel és egyes dimenzióval. A gyakorlati gond megmaradt: az olyan képletekben, mint ω = 2πf, a radián hol feltűnik, hol eltűnik, és a mérnöki szoftverek dimenzióellenőrzésének kivételként kell kezelnie a szöget.
Katalógus · Nemzetközi Mértékegységrendszer
Minden mennyiségnek egy adatlap
Hét alapegység, huszonkét saját nevű származtatott és a használatból kikerült rendszerek archívuma. Mindegyiknek megvan a maga lapja: meghatározás, dimenzió, átváltás, műszerek, írásszabályok. 36 nyelven.