Radiano
Unidade SI derivada · grandeza: ângulo plano
01 · Definição
O radiano é a única unidade do SI que vale um. A sua dimensão é um metro por metro, ou seja, nenhuma — e ainda assim tem nome, símbolo e um lugar na tabela das unidades derivadas.
Um radiano é o ângulo para o qual o comprimento do arco é igual ao raio. Daí o seu aspecto incómodo em graus: 57 graus 17 minutos 45 segundos. Em troca, toda a matemática fica mais simples: a derivada do seno só é o cosseno se o argumento estiver em radianos, o comprimento do arco é o ângulo vezes o raio, e a velocidade angular mede-se em radianos por segundo sem quaisquer factores de conversão. Uma volta completa são 2π radianos, e essa é a única razão pela qual π aparece em cada linha da trigonometria.
A velocidade angular mede-se em radianos por segundo, a frequência em hertz, e as duas estão ligadas pelo factor 2π. Escrever ω em hertz é formalmente possível, já que o radiano é adimensional, mas a brochura do SI não o admite: as grandezas são diferentes.
02 · Conversão
Introduza um ângulo — a folha fará a conversão
O grau sobreviveu à reforma métrica: a tentativa de introduzir o grado, em que o ângulo recto vale cem unidades, falhou em toda a parte excepto na geodesia francesa. Trezentos e sessenta divide-se sem resto por dois, três, quatro, cinco, seis e nove — essa comodidade revelou-se mais forte do que a lógica decimal.
O milirradiano é cómodo na prática: um ângulo de um milirradiano dá um deslocamento de um metro a um quilómetro de distância. Atiradores e artilheiros contam em milésimos precisamente por isso, e o cálculo mental reduz-se a uma divisão.
| Unidade | Nome | Valor | Onde aparece |
|---|---|---|---|
| rad | radiano, unidade do SI | 1 | matemática, física, técnica |
| mrad | milirradiano | 1000 | miras, lasers, óptica |
| µrad | microrradiano | 1 000 000 | alinhamento, autocolimador |
| nrad | nanorradiano | 1·10⁹ | interferometria |
| volt. | volta, 2π radianos | 0,15915 | rotação, enrolamentos |
| m/m | um metro por metro — isso é exactamente 1 | 1 | o radiano é adimensional |
| ° | grau, 1/360 de círculo | 57,3 | vida corrente, geodesia, navegação |
| ′ | minuto de arco, 1/60 de grau | 3438 | cartas marítimas, astronomia |
| ″ | segundo de arco | 206 265 | teodolito, astrometria |
| mas | milissegundo de arco | 2,063·10⁸ | paralaxes estelares |
| grado | grado (gon), 1/400 de círculo | 63,66 | geodesia francesa |
| milésimo | milésimo, 1/6400 de volta | 1019 | artilharia |
| rad | radiano | 1 | a unidade atual |
O grau, o minuto e o segundo de arco permanecem no SI como unidades fora do sistema — nem a navegação nem a astronomia passam sem eles. O grado nasceu da reforma métrica francesa: um quarto de círculo em cem partes, mas só vingou na geodesia.
03 · Ordens de grandeza
da resolução de um telescópio à volta completaUm radiano — 57,3 graus
04 · Instrumentos de medição
Com que se medem os ângulos
Um círculo dividido com microscópio de leitura: aponta-se a luneta ao alvo e faz-se a leitura com precisão de segundo de arco. O topógrafo fala em graus, minutos e segundos, mas o calculador integrado converte-os em radianos, porque de outro modo a trigonometria não se calcula.
Um disco com fendas no veio: um fotorreceptor conta impulsos e divide a volta em milhares de contagens. O controlador de um robô guarda a posição da articulação directamente em radianos — assim a trigonometria e as derivadas calculam-se sem um único coeficiente.
Envia um feixe paralelo a um espelho e recolhe o reflexo: uma inclinação de alguns microrradianos desloca a marca em fracções de milímetro. Com ângulos destes o seno, a tangente e o próprio ângulo coincidem até à sexta casa, por isso o aparelho limita-se a dividir o deslocamento pela distância focal.
O Gaia mediu as posições das estrelas com precisão de cerca de vinte microssegundos de arco — um décimo de nanorradiano, a espessura de um cabelo visto de dois mil quilómetros. Ali os ângulos só se calculam em radianos: em graus os números deixam de caber no formato numérico.
05 · Regras de escrita
rad pode omitir-se, o sinal de grau não
Como o radiano é adimensional, «sin 2» e «sin 2 rad» significam o mesmo, e nos textos matemáticos o símbolo é omitido. Mas se o ângulo estiver em graus, o sinal é obrigatório: sin 2° difere de sin 2 num factor de trinta. O símbolo rad escreve-se em minúsculas; em dosimetria esse mesmo «rad» é uma unidade de dose absorvida, por isso nos textos russos o ângulo escreve-se «рад» apenas com ressalva.
O grau, o minuto e o segundo de arco não fazem parte do SI mas são admitidos no uso. Não se lhes aplicam prefixos: o milígrau não existe, e as fracções escrevem-se como minutos e segundos ou em decimais.
06 · Unidades vizinhas
O radiano e o esterradiano são as duas unidades adimensionais do SI: a primeira para o ângulo plano, a segunda para o ângulo sólido. Ambas valem um, ambas têm nome próprio, e ambas dão a mesma dor de cabeça a quem escreve verificações de dimensões.
Em ângulos menores que 0,1 radiano o seno, a tangente e o próprio ângulo coincidem com precisão melhor do que um por cento — é nisso que assentam toda a óptica dos pequenos desvios e a teoria do pêndulo.
07 · Secção histórica
Com que se dividia o círculo antes do radiano
Um rasto sexagesimal da matemática babilónica: divide-se sem resto por dois, três, quatro, cinco, seis. Ptolemeu repartiu o grau em sessenta minutos e o minuto em sessenta segundos, e a notação atravessou dezoito séculos sem mudar.
Uma tentativa métrica: o ângulo recto vale cem grados, o círculo inteiro quatrocentos. Ficou na geodesia europeia e nas calculadoras desse ofício — a sigla GRA ao lado de DEG e RAD.
Uma unidade de pontaria: aproximadamente um milirradiano. Na tradição russa o círculo divide-se em seis mil, na NATO em 6400. A comodidade é a mesma: um milésimo é um metro a um quilómetro.
O círculo divide-se em 24 horas segundo a rotação diária da Terra. As ascensões rectas das estrelas publicam-se ainda em horas, minutos e segundos: uma hora são quinze graus.
Uma unidade que não se pode tirar nem se pode deixar
Formalmente o radiano é igual a um, por isso o Comité Internacional de Pesos e Medidas discutiu longamente o seu estatuto: em 1960 chamaram-lhe unidade suplementar, em 1980 propôs-se reconhecê-lo como unidade derivada adimensional, e em 1995 adoptou-se um compromisso — unidade derivada com nome próprio e dimensão um. O problema prático manteve-se: em fórmulas como ω = 2πf o radiano aparece e desaparece, e os sistemas de verificação de dimensões nos programas de engenharia são obrigados a tratar o ângulo como excepção.
Catálogo · Sistema Internacional de Unidades
Uma ficha para cada grandeza
Sete unidades de base, vinte e duas derivadas com nome próprio e o arquivo dos sistemas que saíram de uso. Cada uma tem a sua folha: definição, dimensão, conversão, aparelhos, regras de escrita. Em 36 línguas.