Radian
Härledd SI-enhet · storhet: plan vinkel
01 · Definition
Radianen är den enda SI-enhet som är lika med ett. Dess dimension är en meter per meter, det vill säga ingen alls — och ändå har den ett namn, en symbol och en plats i tabellen över härledda enheter.
En radian är den vinkel vid vilken båglängden är lika med radien. Därav dess obekväma utseende i grader: 57 grader 17 minuter 45 sekunder. I gengäld blir hela matematiken enklare: derivatan av sinus är cosinus endast om argumentet står i radianer, båglängden är vinkeln gånger radien, och vinkelhastigheten mäts i radianer per sekund helt utan omräkningsfaktorer. Ett helt varv är 2π radianer, och det är det enda skälet till att π står i trigonometrin på varje rad.
Vinkelhastigheten mäts i radianer per sekund, frekvensen i hertz, och de två binds samman av faktorn 2π. Att skriva ω i hertz är formellt möjligt, eftersom radianen är dimensionslös, men SI-broschyren tillåter det inte: storheterna är olika.
02 · Omräkning
Skriv in en vinkel — bladet räknar om den
Graden överlevde den metriska reformen: försöket att införa gonen, där en rät vinkel mäter hundra enheter, misslyckades överallt utom i franskt lantmäteri. Trehundrasextio delas utan rest med två, tre, fyra, fem, sex och nio — den bekvämligheten visade sig starkare än decimallogiken.
Milliradianen är praktisk: en vinkel på en milliradian ger en förskjutning på en meter vid en kilometers avstånd. Skyttar och artillerister räknar i streck just därför, och huvudräkningen reduceras till en division.
| Enhet | Namn | Värde | Var den förekommer |
|---|---|---|---|
| rad | radian, SI-enheten | 1 | matematik, fysik, teknik |
| mrad | milliradian | 1000 | sikten, lasrar, optik |
| µrad | mikroradian | 1 000 000 | injustering, autokollimator |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interferometri |
| v | varv, 2π radianer | 0,15915 | rotation, lindningar |
| m/m | en meter per meter — det är precis 1 | 1 | radianen är dimensionslös |
| ° | grad, 1/360 cirkel | 57,3 | vardag, lantmäteri, navigation |
| ′ | bågminut, 1/60 grad | 3438 | sjökort, astronomi |
| ″ | bågsekund | 206 265 | teodolit, astrometri |
| mas | millibågsekund | 2,063·10⁸ | stjärnparallaxer |
| gon | gon, 1/400 cirkel | 63,66 | franskt lantmäteri |
| streck | streck, 1/6400 varv | 1019 | artilleri |
| rad | radian | 1 | dagens enhet |
Graden, bågminuten och bågsekunden stannar kvar i SI som enheter utanför systemet — varken navigationen eller astronomin klarar sig utan dem. Gonen uppkom vid den franska metriska reformen: en kvartscirkel i hundra delar, men den slog rot bara inom lantmäteriet.
03 · Storleksordningar
från ett teleskops upplösning till helt varvEn radian — 57,3 grader
04 · Mätinstrument
Vad vinklar mäts med
En delad cirkel med avläsningsmikroskop: kikaren riktas mot målet och avläsningen görs på bågsekunden när. Lantmätaren talar i grader, minuter och sekunder, men den inbyggda räknaren omvandlar dem till radianer, eftersom trigonometrin annars inte går att räkna.
En slitsad skiva på axeln: en fotodetektor räknar pulser och delar varvet i tusentals steg. En robots styrenhet håller ledens läge direkt i radianer — så räknas trigonometri och derivator utan en enda koefficient.
Den sänder en parallell stråle mot en spegel och fångar upp reflexen: en lutning på några mikroradianer förskjuter märket med bråkdelar av en millimeter. Vid sådana vinklar sammanfaller sinus, tangens och vinkeln själv till sjätte decimalen, därför delar instrumentet helt enkelt förskjutningen med brännvidden.
Gaia mätte stjärnornas lägen med en noggrannhet på omkring tjugo mikrobågsekunder — en tiondels nanoradian, tjockleken av ett hårstrå sett från tvåtusen kilometer. Vinklar räknas där bara i radianer: i grader ryms talen inte längre i talformatet.
05 · Skrivregler
rad får utelämnas, gradtecknet inte
Eftersom radianen är dimensionslös betyder «sin 2» och «sin 2 rad» samma sak, och i matematiska texter utelämnas symbolen. Men står vinkeln i grader är tecknet obligatoriskt: sin 2° skiljer sig från sin 2 trettiofalt. Symbolen rad skrivs med gemener; inom dosimetrin är samma «rad» en enhet för absorberad dos, därför skrivs vinkeln i ryska texter som «рад» endast med förbehåll.
Graden, bågminuten och bågsekunden ingår inte i SI men är tillåtna att använda. Prefix tillämpas inte på dem: någon milligrad finns inte, och delar skrivs som minuter och sekunder eller som decimaler.
06 · Grannenheter
Radianen och steradianen är SI:s två dimensionslösa enheter: den första för plan vinkel, den andra för rymdvinkel. Båda är lika med ett, båda har eget namn, och båda vållar samma huvudbry för den som skriver dimensionskontroller.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Vid vinklar under 0,1 radian sammanfaller sinus, tangens och vinkeln själv till bättre än en procent — på det vilar hela optiken för små avvikelser och pendelns teori.
07 · Historisk del
Vad cirkeln delades med före radianen
Ett sexagesimalt spår av babylonisk matematik: den delas utan rest med två, tre, fyra, fem, sex. Ptolemaios delade graden i sextio minuter och minuten i sextio sekunder, och skrivsättet har gått genom arton sekler oförändrat.
Ett metriskt försök: den räta vinkeln mäter hundra gon, hela cirkeln fyrahundra. Den stannade kvar i europeiskt lantmäteri och i det yrkets miniräknare — beteckningen GRA bredvid DEG och RAD.
En sikteenhet: ungefär en milliradian. I den ryska traditionen delas cirkeln i sextusen, i Nato i 6400. Bekvämligheten är densamma: ett streck är en meter på en kilometer.
Cirkeln delas i 24 timmar efter jordens dygnsrotation. Stjärnornas rektascensioner publiceras än i dag i timmar, minuter och sekunder: en timme är femton grader.
En enhet som varken går att stryka eller behålla
Formellt är radianen lika med ett, därför tvistade Internationella byrån för mått och vikt länge om dess ställning: 1960 kallades den en tilläggsenhet, 1980 föreslogs att den skulle erkännas som dimensionslös härledd enhet, och 1995 antogs en kompromiss — en härledd enhet med eget namn och dimensionen ett. Det praktiska problemet kvarstod: i formler som ω = 2πf dyker radianen upp och försvinner igen, och system för dimensionskontroll i teknisk programvara tvingas behandla vinkeln som ett undantag.
Katalog · Internationella måttenhetssystemet
Ett datablad för varje storhet
Sju basenheter, tjugotvå härledda med egna namn och arkivet över system som gått ur bruk. Var och en har sitt blad: definition, dimension, omräkning, instrument, skrivregler. På 36 språk.