Radian
Afledt SI-enhed · størrelse: plan vinkel
01 · Definition
Radianen er den eneste SI-enhed, der er lig med et. Dens dimension er en meter per meter, altså slet ingen — og alligevel har den et navn, et symbol og en plads i tabellen over afledte enheder.
En radian er den vinkel, hvor buelængden er lig med radius. Deraf dens ubekvemme udseende i grader: 57 grader 17 minutter 45 sekunder. Til gengæld bliver hele matematikken enklere: differentialkvotienten af sinus er kun cosinus, hvis argumentet står i radianer, buelængden er vinklen gange radius, og vinkelhastigheden måles i radianer per sekund helt uden omregningsfaktorer. En hel omdrejning er 2π radianer, og det er den eneste grund til, at π står i trigonometrien på hver linje.
Vinkelhastigheden måles i radianer per sekund, frekvensen i hertz, og de to er bundet sammen af faktoren 2π. At skrive ω i hertz er formelt muligt, da radianen er dimensionsløs, men SI-brochuren tillader det ikke: størrelserne er forskellige.
02 · Omregning
Indtast en vinkel — bladet regner den om
Graden overlevede den metriske reform: forsøget på at indføre gon, hvor en ret vinkel måler hundrede enheder, mislykkedes overalt undtagen i fransk landmåling. Tre hundrede og tres deles uden rest med to, tre, fire, fem, seks og ni — den bekvemmelighed viste sig stærkere end decimallogikken.
Milliradianen er praktisk: en vinkel på en milliradian giver en forskydning på en meter på en kilometers afstand. Skytter og artillerister regner i streger netop derfor, og hovedregningen reduceres til en division.
| Enhed | Navn | Værdi | Hvor den forekommer |
|---|---|---|---|
| rad | radian, SI-enheden | 1 | matematik, fysik, teknik |
| mrad | milliradian | 1000 | sigter, lasere, optik |
| µrad | mikroradian | 1 000 000 | justering, autokollimator |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interferometri |
| omdr. | omdrejning, 2π radianer | 0,15915 | rotation, viklinger |
| m/m | en meter per meter — det er præcis 1 | 1 | radianen er dimensionsløs |
| ° | grad, 1/360 cirkel | 57,3 | hverdag, landmåling, navigation |
| ′ | bueminut, 1/60 grad | 3438 | søkort, astronomi |
| ″ | buesekund | 206 265 | teodolit, astrometri |
| mas | millibuesekund | 2,063·10⁸ | stjerneparallakser |
| gon | gon, 1/400 cirkel | 63,66 | fransk landmåling |
| streg | streg, 1/6400 omdrejning | 1019 | artilleri |
| rad | radian | 1 | nutidens enhed |
Graden, bueminuttet og buesekundet bliver i SI som enheder uden for systemet — hverken navigation eller astronomi klarer sig uden dem. Gon opstod ved den franske metriske reform: en kvartcirkel i hundrede dele, men den slog kun rod i landmålingen.
03 · Størrelsesordener
fra et teleskops opløsning til hele omdrejningenEn radian — 57,3 grader
04 · Måleinstrumenter
Hvad vinkler måles med
En inddelt cirkel med aflæsningsmikroskop: kikkerten rettes mod målet, og aflæsningen tages med nøjagtighed til buesekundet. Landmåleren taler i grader, minutter og sekunder, men den indbyggede regner omsætter dem til radianer, for ellers kan trigonometrien ikke regnes.
En skive med slidser på akslen: en fotomodtager tæller impulser og deler omdrejningen i tusinder af tællinger. En robots styring holder ledstillingen direkte i radianer — sådan regnes trigonometri og afledede uden en eneste koefficient.
Den sender en parallel stråle mod et spejl og opfanger refleksionen: en hældning på nogle mikroradianer forskyder mærket med brøkdele af en millimeter. Ved sådanne vinkler falder sinus, tangens og selve vinklen sammen til sjette decimal, derfor dividerer instrumentet ganske enkelt forskydningen med brændvidden.
Gaia målte stjernernes positioner med en nøjagtighed på omkring tyve mikrobuesekunder — en tiendedel nanoradian, tykkelsen af et hår set fra to tusind kilometer. Vinkler regnes der kun i radianer: i grader kan tallene ikke længere være i talformatet.
05 · Skriveregler
rad må udelades, gradtegnet ikke
Da radianen er dimensionsløs, betyder «sin 2» og «sin 2 rad» det samme, og i matematiske tekster udelader man symbolet. Men står vinklen i grader, er tegnet obligatorisk: sin 2° adskiller sig fra sin 2 tredive gange. Symbolet rad skrives med små bogstaver; i dosimetrien er det samme «rad» en enhed for absorberet dosis, derfor skrives vinklen i russiske tekster kun med forbehold som «рад».
Graden, bueminuttet og buesekundet hører ikke til SI, men er tilladt i brug. Præfikser anvendes ikke på dem: en milligrad findes ikke, og brøkdele skrives som minutter og sekunder eller som decimaler.
06 · Naboenheder
Radianen og steradianen er SI’s to dimensionsløse enheder: den første for plan vinkel, den anden for rumvinkel. Begge er lig med et, begge har eget navn, og begge volder samme hovedbrud for den, der skriver dimensionskontroller.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Ved vinkler under 0,1 radian falder sinus, tangens og selve vinklen sammen bedre end en procent — derpå hviler hele optikken for små afvigelser og pendulets teori.
07 · Historisk afsnit
Hvad cirklen blev delt med før radianen
Et seksogtyvedelt spor af babylonisk matematik: den deles uden rest med to, tre, fire, fem, seks. Ptolemæus delte graden i tres minutter og minuttet i tres sekunder, og skrivemåden har overlevet atten århundreder uændret.
Et metrisk forsøg: den rette vinkel måler hundrede gon, hele cirklen fire hundrede. Den blev i europæisk landmåling og i det fags lommeregnere — betegnelsen GRA ved siden af DEG og RAD.
En sigteenhed: omtrent en milliradian. I russisk tradition deles cirklen i seks tusind, i NATO i 6400. Bekvemmeligheden er den samme: en streg er en meter på en kilometer.
Cirklen deles i 24 timer efter Jordens døgnrotation. Stjernernes rektascensioner udgives den dag i dag i timer, minutter og sekunder: en time er femten grader.
En enhed, som hverken kan fjernes eller beholdes
Formelt er radianen lig med et, derfor stredes Den Internationale Komité for Mål og Vægt længe om dens status: i 1960 kaldte man den en supplerende enhed, i 1980 blev det foreslået at anerkende den som dimensionsløs afledt enhed, og i 1995 kom et kompromis — en afledt enhed med eget navn og dimensionen et. Det praktiske problem blev tilbage: i formler som ω = 2πf dukker radianen op og forsvinder igen, og systemer til dimensionskontrol i teknisk software er nødt til at behandle vinklen som en undtagelse.
Katalog · Det Internationale Enhedssystem
Et datablad for hver størrelse
Syv basisenheder, toogtyve afledte med egne navne og arkivet over systemer, der er gået af brug. Hver har sit blad: definition, dimension, omregning, instrumenter, skriveregler. På 36 sprog.