रेडियन
SI व्युत्पन्न इकाई · राशि: समतल कोण
01 · परिभाषा
रेडियन SI की एकमात्र इकाई है जो एक के बराबर है। उसकी विमा मीटर बटा मीटर है, यानी कोई नहीं — फिर भी उसका नाम, प्रतीक और व्युत्पन्न इकाइयों की तालिका में स्थान है।
एक रेडियन वह कोण है जिस पर चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है। इसी से अंशों में उसका असुविधाजनक रूप: 57 अंश 17 कला 45 विकला। बदले में सारा गणित सरल हो जाता है: ज्या का अवकलज कोज्या तभी होता है जब चर रेडियन में हो, चाप की लंबाई कोण गुणा त्रिज्या है, और कोणीय वेग बिना किसी रूपांतरण गुणांक के रेडियन प्रति सेकंड में नापा जाता है। पूरा चक्कर 2π रेडियन है, और त्रिकोणमिति की हर पंक्ति में π के आने का यही एकमात्र कारण है।
कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड में नापा जाता है, आवृत्ति हर्ट्ज़ में, और दोनों को 2π गुणक जोड़ता है। ω को हर्ट्ज़ में लिखना औपचारिक रूप से संभव है, क्योंकि रेडियन विमाहीन है, पर SI की पुस्तिका इसकी अनुमति नहीं देती: राशियाँ भिन्न हैं।
02 · रूपांतरण
कोण डालिए — पर्चा उसे बदल देगा
अंश मीट्रिक सुधार से बच निकला: ग्रेड लाने की कोशिश, जिसमें समकोण सौ इकाइयों का होता है, फ़्रांसीसी भूसर्वेक्षण को छोड़कर हर जगह विफल रही। तीन सौ साठ दो, तीन, चार, पाँच, छह और नौ से बिना शेष विभाजित होता है — यह सुविधा दशमलव तर्क से अधिक बलवान निकली।
मिलीरेडियन व्यवहार में सुविधाजनक है: एक मिलीरेडियन का कोण एक किलोमीटर दूरी पर एक मीटर का खिसकाव देता है। निशानेबाज़ और तोपची इसी कारण हज़ारवें में गिनते हैं, और मन का हिसाब एक भाग में सिमट जाता है।
| इकाई | नाम | मान | कहाँ मिलती है |
|---|---|---|---|
| rad | रेडियन, SI इकाई | 1 | गणित, भौतिकी, तकनीक |
| mrad | मिलीरेडियन | 1000 | दूरदर्शी, लेज़र, प्रकाशिकी |
| µrad | माइक्रोरेडियन | 1 000 000 | संरेखण, स्वसंरेखक |
| nrad | नैनोरेडियन | 1·10⁹ | व्यतिकरणमिति |
| चक् | चक्कर, 2π रेडियन | 0.15915 | घूर्णन, कुंडलियाँ |
| m/m | मीटर बटा मीटर — यही ठीक 1 है | 1 | रेडियन विमाहीन है |
| ° | अंश, वृत्त का 1/360 | 57.3 | रोज़मर्रा, भूसर्वेक्षण, नौवहन |
| ′ | कला, अंश का 1/60 | 3438 | समुद्री मानचित्र, खगोल |
| ″ | विकला | 206 265 | थियोडोलाइट, खगोलमिति |
| mas | मिलीविकला | 2.063·10⁸ | तारों का लंबन |
| ग्रेड | ग्रेड (गॉन), वृत्त का 1/400 | 63.66 | फ़्रांसीसी भूसर्वेक्षण |
| हज़ारवाँ | हज़ारवाँ, चक्कर का 1/6400 | 1019 | तोपख़ाना |
| rad | रेडियन | 1 | आज की इकाई |
अंश, कला और विकला SI में तंत्र से बाहर की इकाइयों के रूप में बने रहते हैं — न नौवहन इनके बिना चलता है न खगोल। ग्रेड फ़्रांसीसी मीट्रिक सुधार में जन्मा: चौथाई वृत्त सौ भागों में, पर जड़ें उसने केवल भूसर्वेक्षण में जमाईं।
03 · परिमाण की कोटियाँ
दूरबीन की विभेदन क्षमता से पूरे चक्कर तकएक रेडियन — 57.3 अंश
04 · मापक यंत्र
कोण किससे नापे जाते हैं
पठन सूक्ष्मदर्शी सहित अंशांकित वृत्त: दूरबीन को लक्ष्य पर साधकर पाठ विकला की परिशुद्धता से लिया जाता है। सर्वेक्षक अंश, कला और विकला में बोलता है, पर अंतर्निहित गणक उन्हें रेडियन में बदल देता है, क्योंकि अन्यथा त्रिकोणमिति गणना नहीं होती।
धुरी पर झिरीदार चक्रिका: प्रकाशग्राही स्पंद गिनता है और चक्कर को हज़ारों गणनाओं में बाँटता है। रोबोट का नियंत्रक जोड़ की स्थिति सीधे रेडियन में रखता है — इस तरह त्रिकोणमिति और अवकलज बिना एक भी गुणांक के गिने जाते हैं।
वह दर्पण पर समांतर पुंज भेजता है और परावर्तन पकड़ता है: कुछ माइक्रोरेडियन का झुकाव निशान को मिलीमीटर के अंशों जितना खिसका देता है। ऐसे कोणों पर ज्या, स्पर्शज्या और स्वयं कोण छठे अंक तक मिल जाते हैं, इसलिए यंत्र बस खिसकाव को फोकस दूरी से भाग देता है।
गाइया ने तारों की स्थितियाँ लगभग बीस माइक्रोविकला की परिशुद्धता से नापीं — यह नैनोरेडियन का दसवाँ भाग है, दो हज़ार किलोमीटर से देखे गए बाल की मोटाई। वहाँ कोण केवल रेडियन में गिने जाते हैं: अंशों में संख्याएँ संख्या-प्रारूप में समाना बंद कर देती हैं।
05 · लेखन नियम
rad छोड़ा जा सकता है, अंश का चिह्न नहीं
चूँकि रेडियन विमाहीन है, «sin 2» और «sin 2 rad» का अर्थ एक ही है, और गणितीय पाठों में प्रतीक छोड़ दिया जाता है। पर यदि कोण अंशों में हो तो चिह्न अनिवार्य है: sin 2° और sin 2 में तीस गुना अंतर है। प्रतीक rad छोटे अक्षरों में लिखा जाता है; मात्रामिति में वही «rad» अवशोषित मात्रा की इकाई है, इसलिए रूसी पाठों में कोण को «рад» केवल स्पष्टीकरण के साथ लिखा जाता है।
अंश, कला और विकला SI में नहीं आते, पर प्रयोग की अनुमति है। उन पर उपसर्ग नहीं लगाए जाते: मिलीअंश जैसी कोई चीज़ नहीं, और अंश कला-विकला में या दशमलव में लिखे जाते हैं।
06 · पड़ोसी इकाइयाँ
रेडियन और स्टेरेडियन SI की दो विमाहीन इकाइयाँ हैं: पहली समतल कोण के लिए, दूसरी घन कोण के लिए। दोनों एक के बराबर हैं, दोनों के अपने नाम हैं, और दोनों विमा-जाँच लिखने वाले को एक ही सिरदर्द देती हैं।
0.1 रेडियन से छोटे कोणों पर ज्या, स्पर्शज्या और स्वयं कोण प्रतिशत से बेहतर मिलते हैं — छोटे विचलनों का सारा प्रकाशिकी और लोलक का सिद्धांत इसी पर टिका है।
07 · ऐतिहासिक भाग
रेडियन से पहले वृत्त किससे बाँटा जाता था
बेबीलोनी गणित का षष्ठिक निशान: दो, तीन, चार, पाँच, छह से बिना शेष विभाजित होता है। टॉलेमी ने अंश को साठ कलाओं में और कला को साठ विकलाओं में बाँटा, और यह लेखन अठारह शताब्दियाँ बिना बदले पार कर गया।
एक मीट्रिक कोशिश: समकोण सौ ग्रेड, पूरा वृत्त चार सौ। वह यूरोपीय भूसर्वेक्षण में और उस पेशे के कैलकुलेटरों में रह गया — DEG और RAD के बगल में GRA का चिह्न।
निशाना साधने की इकाई: लगभग एक मिलीरेडियन। रूसी परंपरा में वृत्त को छह हज़ार में बाँटते हैं, नाटो में 6400 में। सुविधा वही है: एक हज़ारवाँ एक किलोमीटर पर एक मीटर।
पृथ्वी के दैनिक घूर्णन के अनुसार वृत्त 24 घंटों में बाँटा जाता है। तारों के विषुवांश आज भी घंटे, कला और विकला में प्रकाशित होते हैं: एक घंटा पंद्रह अंश है।
ऐसी इकाई जिसे न हटाया जा सकता है न रखा जा सकता है
औपचारिक रूप से रेडियन एक के बराबर है, इसीलिए भार और माप की अंतरराष्ट्रीय समिति उसकी हैसियत पर लंबे समय तक बहस करती रही: 1960 में उसे पूरक इकाई कहा गया, 1980 में उसे विमाहीन व्युत्पन्न इकाई मानने का प्रस्ताव आया, और 1995 में समझौता हुआ — अपने नाम वाली और विमा एक वाली व्युत्पन्न इकाई। व्यावहारिक दिक्कत बनी रही: ω = 2πf जैसे सूत्रों में रेडियन कभी प्रकट होता है कभी लोप, और अभियांत्रिकी सॉफ़्टवेयर की विमा-जाँच को कोण अपवाद के रूप में सँभालना पड़ता है।
सूची · अंतरराष्ट्रीय इकाई प्रणाली
हर राशि के लिए एक पत्रक
सात मूल इकाइयाँ, अपने नाम वाली बाईस व्युत्पन्न इकाइयाँ और उन प्रणालियों का संग्रह जो प्रयोग से बाहर हो गईं। हर एक का अपना पर्चा है: परिभाषा, विमा, रूपांतरण, यंत्र, लिखने के नियम। 36 भाषाओं में।