Radian
Unitate SI derivată · mărime: unghi plan
01 · Definiție
Radianul este singura unitate SI egală cu unu. Dimensiunea lui este un metru pe metru, adică niciuna — și totuși are nume, simbol și un loc în tabelul unităților derivate.
Un radian este unghiul la care lungimea arcului este egală cu raza. De aici înfățișarea lui incomodă în grade: 57 de grade 17 minute 45 de secunde. În schimb toată matematica se simplifică: derivata sinusului este cosinusul numai dacă argumentul este în radiani, lungimea arcului este unghiul înmulțit cu raza, iar viteza unghiulară se măsoară în radiani pe secundă fără niciun factor de conversie. O rotație completă înseamnă 2π radiani, și acesta este singurul motiv pentru care π apare în trigonometrie pe fiecare rând.
Viteza unghiulară se măsoară în radiani pe secundă, frecvența în herți, iar cele două sunt legate printr-un factor 2π. A scrie ω în herți este formal posibil, de vreme ce radianul este adimensional, dar broșura SI nu o admite: mărimile sunt diferite.
02 · Conversie
Introduceți un unghi — fișa îl va converti
Gradul a supraviețuit reformei metrice: încercarea de a introduce gradul centesimal, unde unghiul drept măsoară o sută de unități, a eșuat peste tot în afară de geodezia franceză. Trei sute șaizeci se împarte fără rest la doi, trei, patru, cinci, șase și nouă — comoditatea aceasta s-a dovedit mai puternică decât logica zecimală.
Miliradianul este comod în practică: un unghi de un miliradian dă o deplasare de un metru la un kilometru distanță. Trăgătorii și artileriștii socotesc în miimi tocmai de aceea, iar calculul în minte se reduce la o împărțire.
| Unitate | Nume | Valoare | Unde apare |
|---|---|---|---|
| rad | radian, unitate SI | 1 | matematică, fizică, tehnică |
| mrad | miliradian | 1000 | lunete, lasere, optică |
| µrad | microradian | 1 000 000 | reglaj, autocolimator |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interferometrie |
| rot. | rotație, 2π radiani | 0,15915 | rotație, înfășurări |
| m/m | un metru pe metru — asta e exact 1 | 1 | radianul este adimensional |
| ° | grad, 1/360 de cerc | 57,3 | viață de zi cu zi, geodezie, navigație |
| ′ | minut de arc, 1/60 de grad | 3438 | hărți marine, astronomie |
| ″ | secundă de arc | 206 265 | teodolit, astrometrie |
| mas | milisecundă de arc | 2,063·10⁸ | paralaxe stelare |
| grad cent. | grad centesimal (gon), 1/400 de cerc | 63,66 | geodezie franceză |
| miime | miime, 1/6400 de rotație | 1019 | artilerie |
| rad | radian | 1 | unitatea de azi |
Gradul, minutul și secunda de arc rămân în SI ca unități din afara sistemului — nici navigația, nici astronomia nu se descurcă fără ele. Gradul centesimal s-a născut la reforma metrică franceză: un sfert de cerc în o sută de părți, dar a prins rădăcini doar în geodezie.
03 · Ordine de mărime
de la rezoluția unui telescop la rotația completăUn radian — 57,3 grade
04 · Instrumente de măsură
Cu ce se măsoară unghiurile
Un cerc divizat cu microscop de citire: se ochește luneta spre țintă și se ia citirea cu precizie de secundă de arc. Topograful vorbește în grade, minute și secunde, dar calculatorul încorporat le transformă în radiani, fiindcă altfel trigonometria nu se poate calcula.
Un disc cu fante pe ax: un fotoreceptor numără impulsurile și împarte rotația în mii de numărători. Controlerul unui robot ține poziția articulației direct în radiani — astfel trigonometria și derivatele se calculează fără niciun coeficient.
Trimite un fascicul paralel pe o oglindă și prinde reflexia: o înclinare de câțiva microradiani deplasează reperul cu fracțiuni de milimetru. La astfel de unghiuri sinusul, tangenta și unghiul însuși coincid până la a șasea zecimală, de aceea aparatul pur și simplu împarte deplasarea la distanța focală.
Gaia a măsurat pozițiile stelelor cu o precizie de circa douăzeci de microsecunde de arc — o zecime de nanoradian, grosimea unui fir de păr văzut de la două mii de kilometri. Acolo unghiurile se calculează doar în radiani: în grade numerele nu mai încap în formatul numeric.
05 · Reguli de scriere
rad poate fi omis, semnul gradului nu
Fiindcă radianul este adimensional, «sin 2» și «sin 2 rad» înseamnă același lucru, iar în textele matematice simbolul se omite. Dar dacă unghiul este în grade, semnul este obligatoriu: sin 2° diferă de sin 2 de treizeci de ori. Simbolul rad se scrie cu litere mici; în dozimetrie același «rad» este o unitate de doză absorbită, de aceea în textele rusești unghiul se scrie «рад» doar cu rezervă.
Gradul, minutul și secunda de arc nu fac parte din SI, dar sunt admise la folosire. Prefixele nu li se aplică: miligradul nu există, iar fracțiunile se scriu ca minute și secunde sau zecimal.
06 · Unități vecine
Radianul și steradianul sunt cele două unități adimensionale ale SI: prima pentru unghiul plan, a doua pentru unghiul solid. Amândouă valorează unu, amândouă au nume propriu și amândouă dau aceeași bătaie de cap oricui scrie verificări de dimensiuni.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
La unghiuri mai mici de 0,1 radiani sinusul, tangenta și unghiul însuși coincid mai bine de un procent — pe asta se sprijină toată optica micilor abateri și teoria pendulului.
07 · Secțiune istorică
Cu ce se împărțea cercul înainte de radian
O urmă sexagesimală a matematicii babiloniene: se împarte fără rest la doi, trei, patru, cinci, șase. Ptolemeu a împărțit gradul în șaizeci de minute și minutul în șaizeci de secunde, iar notația a străbătut optsprezece secole neschimbată.
O încercare metrică: unghiul drept măsoară o sută de grade centesimale, cercul întreg patru sute. A rămas în geodezia europeană și în calculatoarele acelei meserii — sigla GRA alături de DEG și RAD.
O unitate de ochire: aproximativ un miliradian. În tradiția rusă cercul se împarte în șase mii, în NATO în 6400. Comoditatea este aceeași: o miime este un metru la un kilometru.
Cercul se împarte în 24 de ore după rotația zilnică a Pământului. Ascensiile drepte ale stelelor se publică și azi în ore, minute și secunde: o oră înseamnă cincisprezece grade.
O unitate care nu poate fi nici scoasă, nici păstrată
Formal radianul este egal cu unu, de aceea Comitetul Internațional de Măsuri și Greutăți s-a certat mult timp asupra statutului său: în 1960 a fost numit unitate suplimentară, în 1980 s-a propus recunoașterea lui ca unitate derivată adimensională, iar în 1995 s-a adoptat un compromis — unitate derivată cu nume propriu și dimensiunea unu. Problema practică a rămas: în formule ca ω = 2πf radianul apare și dispare, iar sistemele de verificare a dimensiunilor din programele inginerești sunt nevoite să trateze unghiul ca pe o excepție.
Catalog · Sistemul Internațional de Unități
O fișă pentru fiecare mărime
Șapte unități de bază, douăzeci și două derivate cu nume propriu și arhiva sistemelor ieșite din uz. Fiecare are fișa ei: definiție, dimensiune, conversie, aparate, reguli de scriere. În 36 de limbi.