Radián
Odvodená jednotka SI · veličina: rovinný uhol
01 · Definícia
Radián je jediná jednotka SI, ktorá sa rovná jednej. Jeho rozmer je meter na meter, teda žiadny — a predsa má meno, značku a miesto v tabuľke odvodených jednotiek.
Jeden radián je uhol, pri ktorom sa dĺžka oblúka rovná polomeru. Odtiaľ jeho nepohodlný vzhľad v stupňoch: 57 stupňov 17 minút 45 sekúnd. Zato sa celá matematika zjednoduší: derivácia sínusu je kosínus len vtedy, ak je argument v radiánoch, dĺžka oblúka je uhol krát polomer a uhlová rýchlosť sa meria v radiánoch za sekundu úplne bez prevodných súčiniteľov. Plná otáčka je 2π radiánov, a to je jediný dôvod, prečo π stojí v trigonometrii na každom riadku.
Uhlová rýchlosť sa meria v radiánoch za sekundu, frekvencia v hertzoch, a obe spája činiteľ 2π. Zapísať ω v hertzoch možno formálne, keď je radián bezrozmerný, ale brožúra SI to nepripúšťa: sú to rôzne veličiny.
02 · Prevod
Zadajte uhol — list ho prepočíta
Stupeň prežil metrickú reformu: pokus zaviesť gradián, kde pravý uhol meria sto jednotiek, stroskotal všade okrem francúzskej geodézie. Tristošesťdesiat sa bezo zvyšku delí dvomi, tromi, štyrmi, piatimi, šiestimi a deviatimi — tá pohodlnosť sa ukázala silnejšia než desiatková logika.
Miliradián je v praxi pohodlný: uhol jedného miliradiánu dáva posun jedného metra na kilometer vzdialenosti. Strelci a delostrelci počítajú v tisícinách práve preto a počítanie z hlavy sa zmenší na delenie.
| Jednotka | Názov | Hodnota | Kde sa vyskytuje |
|---|---|---|---|
| rad | radián, jednotka SI | 1 | matematika, fyzika, technika |
| mrad | miliradián | 1000 | zameriavače, lasery, optika |
| µrad | mikroradián | 1 000 000 | nastavovanie, autokolimátor |
| nrad | nanoradián | 1·10⁹ | interferometria |
| ot. | otáčka, 2π radiánov | 0,15915 | otáčanie, vinutia |
| m/m | meter na meter — to je presne 1 | 1 | radián je bezrozmerný |
| ° | stupeň, 1/360 kruhu | 57,3 | bežný život, geodézia, navigácia |
| ′ | uhlová minúta, 1/60 stupňa | 3438 | námorné mapy, astronómia |
| ″ | uhlová sekunda | 206 265 | teodolit, astrometria |
| mas | milisekunda oblúka | 2,063·10⁸ | paralaxy hviezd |
| gradián | gradián (gon), 1/400 kruhu | 63,66 | francúzska geodézia |
| tisícina | tisícina, 1/6400 otáčky | 1019 | delostrelectvo |
| rad | radián | 1 | dnešná jednotka |
Stupeň, uhlová minúta a sekunda zostávajú v SI ako jednotky mimo sústavy — bez nich sa nezaobíde ani navigácia, ani astronómia. Gradián vznikol pri francúzskej metrickej reforme: štvrťkruh na sto dielov, ale ujal sa len v geodézii.
03 · Rády veličín
od rozlíšenia ďalekohľadu po plnú otáčkuJeden radián — 57,3 stupňa
04 · Meracie prístroje
Čím sa merajú uhly
Delený kruh s odčítacím mikroskopom: ďalekohľad sa namieri na cieľ a odčet sa vezme s presnosťou na uhlovú sekundu. Geodet hovorí v stupňoch, minútach a sekundách, ale zabudovaný počítač ich prevádza na radiány, lebo inak sa trigonometria vypočítať nedá.
Kotúč so štrbinami na hriadeli: fotoprijímač počíta impulzy a delí otáčku na tisíce odčítaní. Riadiaca jednotka robota drží polohu kĺbu rovno v radiánoch — tak sa trigonometria aj derivácie počítajú bez jediného súčiniteľa.
Vysiela rovnobežný zväzok na zrkadlo a zachytáva odraz: náklon o mikroradiány posunie značku o zlomky milimetra. Pri takých uhloch sa sínus, tangens aj samotný uhol zhodujú do šiestej číslice, preto prístroj jednoducho delí posun ohniskovou vzdialenosťou.
Gaia merala polohy hviezd s presnosťou asi dvadsiatich mikrosekúnd oblúka — je to desatina nanoradiánu, hrúbka vlasu zo vzdialenosti dvoch tisíc kilometrov. Uhly sa tam počítajú len v radiánoch: v stupňoch sa čísla prestanú zmestiť do číselného formátu.
05 · Pravidlá zápisu
rad možno vynechať, značku stupňa nie
Keďže je radián bezrozmerný, «sin 2» a «sin 2 rad» znamenajú to isté a v matematických textoch sa značka vynecháva. Ak je však uhol v stupňoch, znamienko je povinné: sin 2° sa od sin 2 líši tridsaťkrát. Značka rad sa píše malými písmenami; v dozimetrii je ten istý «rad» jednotkou absorbovanej dávky, preto sa v ruských textoch uhol píše «рад» len s výhradou.
Stupeň, uhlová minúta a sekunda do SI nepatria, ale sú na používanie pripustené. Predpony sa na ne nepoužívajú: milistupeň neexistuje a zlomky sa zapisujú ako minúty a sekundy alebo desatinne.
06 · Susedné jednotky
Radián a steradián sú dve bezrozmerné jednotky SI: prvá pre rovinný, druhá pre priestorový uhol. Obe sa rovnajú jednej, obe majú vlastné meno a obe spôsobujú rovnaké trápenie každému, kto píše kontroly rozmerov.
Pri uhloch menších než 0,1 radiánu sa sínus, tangens aj samotný uhol zhodujú lepšie než na percento — na tom stojí celá optika malých odchýlok aj teória kyvadla.
07 · Historický oddiel
Čím sa delil kruh pred radiánom
Šesťdesiatková stopa babylonskej matematiky: delí sa bezo zvyšku dvomi, tromi, štyrmi, piatimi, šiestimi. Ptolemaios rozdelil stupeň na šesťdesiat minút a minútu na šesťdesiat sekúnd, a zápis prešiel osemnástimi storočiami bez zmeny.
Metrický pokus: pravý uhol meria sto gradiánov, celý kruh štyristo. Zostal v európskej geodézii a v kalkulačkách toho odboru — skratka GRA vedľa DEG a RAD.
Zameriavacia jednotka: približne miliradián. V ruskej tradícii sa kruh delí na šesť tisíc, v NATO na 6400. Pohodlnosť je tá istá: jedna tisícina je meter na kilometri.
Kruh sa delí na 24 hodín podľa denného otáčania Zeme. Rektascenzie hviezd sa dodnes vydávajú v hodinách, minútach a sekundách: jedna hodina je pätnásť stupňov.
Jednotka, ktorú nemožno odstrániť ani ponechať
Formálne sa radián rovná jednej, preto sa Medzinárodný výbor pre miery a váhy dlho sporil o jeho postavenie: v roku 1960 ho nazvali doplnkovou jednotkou, v roku 1980 sa navrhlo uznať ho za bezrozmernú odvodenú jednotku a v roku 1995 padol kompromis — odvodená jednotka s vlastným menom a rozmerom jedna. Praktická ťažkosť zostala: vo vzorcoch ako ω = 2πf sa radián objavuje a zase mizne, a systémy kontroly rozmerov v inžinierskom softvéri musia uhol ošetrovať ako výnimku.
Katalóg · Medzinárodná sústava jednotiek
List pre každú veličinu
Sedem základných jednotiek, dvadsaťdva odvodených s vlastnými názvami a archív sústav, ktoré vyšli z používania. Každá má svoj list: definícia, rozmer, prevod, prístroje, pravidlá zápisu. V 36 jazykoch.