大小写

百分号与数字之间要空一格，和其他单位符号一样：写 24 %，不写 24%。缩写 APR、APY、APRC 用大写拉丁字母，不加点；俄罗斯的 PSK 则用大写西里尔字母。利率旁边总要有一个词说明它是哪一种：年利率、月利率、实际利率还是综合成本。

不要混淆

APR 是月利率乘以十二，不含利滚利；APY 则显示一年下来钱实际增长多少。银行宣传存款时愿意用 APY，因为数字更大；宣传贷款时愿意用 APR，因为数字更小，可说的其实是同一笔钱。

石板上的百分号是用真钞拼成的。它的斜线是一捆扎着银行封条的钞票，上面的圆圈是一枚银币，代表以年利率百分之二十四存入的一百个单位，下面的圆圈是一枚金币，存款一年后就变成它。每过一秒就是一个月，一枚计入的利息小币顺着钞票捆像沿着滑槽滚下来。仔细看：后一枚总比前一枚略大，因为利息已经在往之前的利息上再计利息。到年底，记分牌上的 24 % 变成了 26.82 %。

量的档案 · 金融 · 货币的时间价格

年利率

% 年利率 · APR · APY · PSK · APRC · (1 + r/n)ⁿ − 1

设想你借了一笔钱，每个月为此付百分之二的利息。一年是多少？几乎人人不假思索都会答：二十四。可是一月里你没付的利息，到二月会加进债务，从此连它也开始生息。到十二月涨起来的不是二十四，而是将近二十七个百分点。这两个数没有一个是假的：第一个回答利率是多少，第二个回答你实际要付出多少。

年利率是货币的时间价格折算成一年的数字，而同一笔交易往往有好几个这样的价格。名义利率 APR 只是把月利率乘以月数。实际利率 APY 计入了利滚利。贷款综合成本再把手续费和保险加到利息上，到这一步利率就不能用公式算了，只能去找：找到一个数，使得收到的钱恰好抵得上所有未来的还款。而实际利率还要减去物价上涨，回答最关键的问题：你到底有没有变富。

说明

使用资金的费用与资金金额之比，折算成一年

符号

% 年利率；APR、APY、EAR；PSK；APRC、TAEG、TAE；CET；CAT；年化利率

量纲

T⁻¹：无量纲的比例，与时间相关

关系

APY = (1 + APR/n)ⁿ − 1；连续计息时为 eᴬᴾᴿ − 1

参考数字

每月 2 % 即每年 26.82 %；翻倍需 72/r 年；增长的极限为 e = 2.718

法律

TILA 与 Reg Z（美国）、2008/48/EC（欧盟）、353-FZ（俄罗斯）、Resolução CMN（巴西）、货币采用 ISO 4217

算一算你自己的利率前往换算

换算

把任意期限的利率换算成年利率

请按别人告诉你的方式输入利率：按年、按月、按两周或按日。左边会列出它所有的年化形式和各期形式，右边则是在这个利率下钱多久翻倍、多久涨到十倍。注意，当期限变短、利率变高时，简单乘法与精确换算会很快拉开距离。

常见情形

同一个利率

由此得出

词源

每一百、居于其间与凭信任

每份合同都离不开三个词，它们都来自拉丁语，但各走各的路。一个说的是计算，一个说的是收费的缘由，还有一个提醒我们：任何债务都始于信任。

百分比意大利，XV 世纪

拉丁语 pro centum · 每一百→意大利语 per cento→德语 Prozent → 百分比

意大利的商人和钱商按每一百计算利润，也就这样说：per cento，「每一百」。账簿里这几个字被缩写成「p c°」，后来干脆成了横线上方一个小圈、下方一个小圈，到 XVII 世纪，这种草书写法演变成了符号 %。这个词经德语 Prozent 传入俄语，那是在彼得一世的时代。

interest罗马法

拉丁语 inter esse · 处于其间→id quod interest · 损失→英语 interest

中世纪教会禁止对借款本身收费，因为那是高利盘剥。但如果债务逾期归还，允许赔偿损失，法学家用 id quod interest 这几个字称呼它，意思是「介于」承诺与履行「之间的东西」。这样，对拖延的赔偿就成了英语的 interest，而在古代俄语里则称为「增长」和「暴利」。

信贷拉丁语 credere

拉丁语 credere · 相信→creditum · 托付之物→信贷

信贷的字面意思是「凭信任交出去的东西」。在阿拉伯语里，借款的费用叫 ribā，意为「增加」，伊斯兰银行不收取它：它们不收利息，而是买下商品，再以加价分期转卖给客户，依据 murābaḥa 合同。名称变了，这类交易的年成本仍用同一个公式来算。

在其他语言和法律中的叫法

年利率 · 年化利率 nián lìlǜ — 中文：「年利率」和「折算成年的利率」；后者自 2021 年起是贷款广告的必备项

実質年率 jisshitsu nenritsu — 日语：「实际年率」，连同手续费一起计算

نسبة الفائدة السنوية — 阿拉伯语：「年度增加比例」； ربا ribā — 被禁止的利息

TAE · CAT — 西班牙语：西班牙用 tasa anual equivalente，墨西哥用 costo anual total

CET · TAEG — 巴西的葡萄牙语用 custo efetivo total；法语和意大利语用 taux annuel effectif global

ब्याज दर byāj dar — 印地语； жилийн хүү — 蒙古语； yıllık faiz — 土耳其语； bunga per tahun — 印度尼西亚语

APR

annual percentage rate — 年百分率；在美国指每期利率乘以期数

APY · EAR

annual percentage yield, effective annual rate — 计入复利的年收益率

APRC

annual percentage rate of charge — 欧盟全部借款成本的年利率

PSK

俄罗斯的贷款综合成本 — 在俄罗斯印在合同右上角的方框中

01 · 定义

一笔交易，四个利率

年利率表示使用资金整整一年要付出金额的多大一部分。如果利息在年底一次性计入，事情就简单，合同里的利率和债务的增长一致。但银行按月、甚至按日计息，每一份计入的利息立刻成为本金的一部分。于是就得区分名义利率（用期数去除的那个）和实际利率（给出一年的结果，包括所有的利滚利）。

两者的差距随着利率增大。年利率百分之五时，按月计息只多出百分之零点一二；年利率二十四时，则差近三个整百分点。当利息之外再加上手续费，以及不同日期金额各异的还款，就不再有简单公式了。贷款综合成本要作为方程的根来求：它是唯一的那个利率，使收到的钱恰好等于折算到今天的所有未来还款。金融计算器是这么算的，监管机构检查银行的程序也是这么算的。

r — 年名义利率 · n — 每年计息次数 · i — 收益率 · π — 通货膨胀 · S — 金额 · j — 月利率 · N — 还款次数 · CF — 交易现金流 · X — 待求利率

互动 · 伯努利问题

百分之百，切成小块

把一个卢布以年利率百分之百存起来，并且越来越频繁地计息：每年一次、每半年一次、每月、每天、每小时。看起来这样就能无限致富。请选择把一年切成多少份，看看这个卢布会变成多少。

APY

2.002.36e = 2.718

基准 · 参考值

26.82 %每月百分之二，一年得到的就是这么多，而绝不是二十四 391 %「两周每一百付十五」这笔贷款的 APR 72 / r翻倍所需的年数；利率为百分之六时是十二年 ¹⁄₈ pp允许的误差，在此范围内美国印刷的 APR 算作正确

互动 · 真实利率计算器

存入、借入、验证广告

输入你的金额并选择货币，画布会用扎着银行封条的真钞捆把它摆出来。在「存款」实验里可以改变利率、计息频率、税和通胀：你会看到利息中有多少是利滚利长出来的，物价又吃掉了多少。在「贷款」实验里加上手续费和保险，看着合同里的利率变成综合成本。在「陷阱」实验里，则可以拆解当今世界各地用来藏起真实资金价格的八种手法。

金额与货币

银行利率

利息加入存款

期限

物价上涨

税

合同利率

期限

放款手续费

保险与服务费

图表 · 计息频率

越频繁越多，但并非无限

金色曲线显示：名义利率不变时，如果每年、每季度、每月、每天或每小时计息一次，年收益率会变成多少。它上升得越来越慢，并贴近紫色虚线，也就是连续计息的极限。红色标记是你的存款、你的贷款，或广告里的利率。

计息频率年 APY

图表 · 时间中的货币

什么在增长，什么在消融

对存款来说，紫色线是账上的金额，金色线是单利会得到的数，红色线是货币的购买力。对贷款来说，青绿色线是债务余额，金色线是你已经付出的全部。对陷阱来说，曲线显示滑块在任何位置时的真实利率，蓝色虚线则是承诺的数字。

时间或参数金额或利率

02 · 各国法律

一笔贷款，框里八个数

1968 年，美国的 Truth in Lending 法首次要求把贷款成本印成一个醒目的大数，此后几乎每个国家都有了自己的版本。它们找的都是同一个利率，使收到的钱恰好抵得上未来的还款，但在细节上各不相同：是把月利率乘以十二，还是按幂次计算；要计入哪些手续费；要不要算税。设定一笔十万的贷款，看看世界各地的合同上会印出什么。

工价

期限

手续费

费用

为什么数字各不相同

这里的规则做了简化。每个国家都有详细的清单，规定哪些费用计入综合成本、哪些不计，还有各自的利率上限和四舍五入的允许误差。要比较不同国家的报价，最公平的办法是用同一个公式，最好是对你自己全部还款算出的实际利率。

03 · 利率刻度

从负数到几千个百分点

世界各地的利率相差一百万倍：从物价多年不动的国家里存款利率的零头，到只借两周的贷款上的几千个百分点。在刻度下端，APR 和 APY 几乎重合，在上端则相差几十倍，利率越高，越要问清给你报的是哪一个。这里的刻度条取对数，否则除了最后几行，其余都会缩成一个点。

04 · 72 法则

心算翻倍

早在 1494 年，意大利修士卢卡·帕乔利，列奥纳多·达·芬奇的朋友，就在他的《算术大全》里记下一条巧妙的规则：用七十二除以百分数的利率，就知道钱几年翻一倍。这个数从哪里来，他没有解释。谜底藏在二的自然对数里，它等于 0.693，而选七十二，是因为它略大一点，并且能被 2、3、4、6、8、9 和 12 整除。拖动利率，看看这条规则能在多长的范围内保持准确。

利率，APY

四十年里能够发生的翻倍次数

05 · 书写规则

正确

百分号与数字之间要空一格，并说明利率的种类：年利率 24 %，按月计息。

实际利率要标明：26.82 % APY 或实际利率 26.82 %。

综合成本要连同手续费一起标出：PSK 27.9 %，APRC 27.9 %。

利率的变动用百分点表示：利率上调了 0.25 pp，即 25 个基点。

存款要说明一年的天数如何计算：年利率 5 %，按 365 天计。

错误

把 24% 写成不留空格，也不说明是哪一种利率。

声称每月 2 % 就是每年 24 %：这只对 APR 成立，一年下来实际累积 26.82 %。

说「利率上涨了 0.25 %」，其实指的是百分点：从 4 涨到 4.25 %，是原利率的百分之六又四分之一。

把信用卡利率叫作收益率 APY。

只写「仅 15 %」，却不说明是多长期限。

06 · 相邻单位

07 · 历史部分

从 per cento 到 %

札记

年利率没有一个像从前的千克原器那样存放在玻璃罩下的标准。但它有一套检定程序。监管机构取出合同中的还款计划，重新解方程，找出使放出的钱等于所有还款的那个利率，再把结果和印出来的数字比较。在美国，差距超过八分之一个百分点就算错误，银行必须把多收的钱退还给客户。

这种检查中的错误几乎总是那几样。忘了放款当天扣掉的手续费。把年利率除以 360 天而不是 365 天，悄悄给它多加了接近百分之一点五的自身大小。在法律要求取十二次幂的地方，把月利率乘了十二。每一个这样的小疏忽都让借款人损失上百万，所以披露利率的法律才规定得如此详细。

单利与复利的差距

量的目录

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基础 · 7 个单位

国际单位制的七个基本单位

米

千克

秒

安培

开尔文

摩尔

坎德拉

与本页相关 · 货币、份额与兑换

目录 · 所有量都在一页

目录入口处的实验室

一滴酸改变果汁的颜色，盐给火焰染色，水被轻敲一下就结冰。下面是 Simetrium 的全部页面，按学科和字母顺序排列。

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08 · 你的语言

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