01 · 定义
弧度是唯一等于一的国际单位制单位。它的量纲是米每米，也就是没有量纲——可它仍然有名字、有符号，在导出单位表里也有一席之地。
一弧度是弧长等于半径时的那个角。它在度制里的样子因此很不便：57 度 17 分 45 秒。作为回报，整个数学都变得更简单：只有当自变量以弧度计时，正弦的导数才是余弦；弧长就是角乘以半径；角速度以每秒弧度计量，不需要任何换算系数。整整一圈是 2π 弧度，这也是 π 在三角学里每一行都出现的唯一原因。
角速度以每秒弧度计量，频率以赫兹计量，两者由 2π 这个因子相连。把 ω 写成赫兹在形式上是可以的，因为弧度无量纲，但国际单位制手册不允许：这是不同的量。
02 · 换算
输入一个角——这一页替你换算
度熬过了米制改革：引入梯度、让直角等于一百个单位的尝试，除了法国测量学以外处处失败。三百六十能被二、三、四、五、六和九整除——这份方便被证明比十进制的逻辑更有力。
毫弧度在实践中很方便：一毫弧度的角在一公里距离上给出一米的位移。狙击手和炮兵正是因此按密位计算，心算也就归结为一次除法。
| 单位 | 名称 | 数值 | 常见于何处 |
|---|---|---|---|
| rad | 弧度，国际单位制单位 | 1 | 数学、物理、技术 |
| mrad | 毫弧度 | 1000 | 瞄准镜、激光、光学 |
| µrad | 微弧度 | 1 000 000 | 校准、自准直仪 |
| nrad | 纳弧度 | 1·10⁹ | 干涉测量 |
| 圈 | 圈，2π 弧度 | 0.15915 | 旋转、绕组 |
| m/m | 米每米——这正好是 1 | 1 | 弧度是无量纲的 |
| ° | 度，圆的 1/360 | 57.3 | 日常、测量学、航海 |
| ′ | 弧分，度的 1/60 | 3438 | 海图、天文学 |
| ″ | 弧秒 | 206 265 | 经纬仪、天体测量 |
| mas | 毫弧秒 | 2.063·10⁸ | 恒星视差 |
| 梯度 | 梯度（gon），圆的 1/400 | 63.66 | 法国测量学 |
| 密位 | 密位，一圈的 1/6400 | 1019 | 炮兵 |
| rad | 弧度 | 1 | 今天的单位 |
度、弧分和弧秒作为制外单位留在国际单位制里——航海和天文都离不开它们。梯度诞生于法国的米制改革：四分之一圆分成一百份，但只在测量学里扎下了根。
03 · 数量级
从望远镜的分辨本领到整整一圈一弧度——57.3 度
04 · 测量仪器
角用什么来测
带读数显微镜的分度圆：把望远镜对准目标，读数精确到弧秒。测量员说的是度、分、秒，但内置的计算器把它们换成弧度，否则三角函数没法算。
轴上带缝的圆盘：光电接收器数脉冲，把一圈分成数千个计数。机器人的控制器直接用弧度保存关节位置——这样三角函数和导数都不需要一个系数。
它把平行光束射到镜面上并接住反射：几微弧度的倾斜会把标记移动零点几毫米。在这样的角上，正弦、正切和角本身在第六位上都一致，所以仪器只需把位移除以焦距。
盖亚以约二十微弧秒的精度测量恒星的位置——那是纳弧度的十分之一，相当于两千公里外一根头发的粗细。那里的角只用弧度计算：用度的话数字就装不进数值格式了。
05 · 书写规则
rad 可以略去，度的符号却不行
由于弧度无量纲，「sin 2」和「sin 2 rad」意思相同，数学文本里会把符号略去。但如果角以度计，符号就是必须的：sin 2° 与 sin 2 相差三十倍。符号 rad 用小写；在剂量学里同样的「rad」是吸收剂量的单位，所以俄文文本里只有加了说明才把角写作「рад」。
度、弧分和弧秒不属于国际单位制，但允许使用。它们不加词头：没有毫度这种东西，零头要写成分和秒，或者写成小数。
06 · 相邻单位
弧度和球面度是国际单位制里仅有的两个无量纲单位：前者用于平面角，后者用于立体角。两者都等于一，两者都有专名，也都让写量纲检查的人同样头疼。
m / m
m² / m²
ω = 2πf
在小于 0.1 弧度的角上，正弦、正切和角本身的吻合优于百分之一——小偏差的整个光学和单摆的理论都建立在这上面。
07 · 历史部分
弧度之前用什么分圆
巴比伦数学留下的六十进制痕迹：它能被二、三、四、五、六整除。托勒密把度分成六十分，把分分成六十秒，这套写法穿过十八个世纪未曾改变。
一次米制尝试：直角是一百梯度，整圆是四百。它留在了欧洲的测量学和那一行的计算器里——DEG 和 RAD 旁边的 GRA 字样。
一种瞄准单位：大约一毫弧度。俄国传统把圆分成六千份，北约分成 6400 份。方便之处相同：一密位就是一公里上的一米。
按地球的周日自转，圆被分成 24 小时。恒星的赤经至今仍以时、分、秒发布：一小时是十五度。
一个既拿不掉又留不住的单位
从形式上说弧度等于一，因此国际计量委员会长期争论它的地位：1960 年称它为辅助单位，1980 年有人提议承认它是无量纲的导出单位，1995 年达成折中——有专名、量纲为一的导出单位。实际的麻烦仍在：在 ω = 2πf 这样的公式里弧度时而出现、时而消失，工程软件中的量纲检查系统只好把角当作例外来处理。
目录 · 国际单位制
每个量都有一份档案
七个基本单位、二十二个有专名的导出单位，以及那些已不再使用的制度的档案。每一个都有自己的一页：定义、量纲、换算、仪器、书写规则。共 36 种语言。