截面惯性矩
一块 50×200 的木板搁在四米的跨度上，跨中受 3 kN。立放时挠度 12 mm，承载绰绰有余。同一块木板平放，在同样的荷载下就断了。截面面积没变，木材也一样。变的是惯性矩：立放 3333 cm⁴，平放 208 cm⁴——小 16 倍。
轴惯性矩是截面各微面积乘以其到轴距离平方的总和：I = ∫y² dA。离轴越远的材料作用越大，所以型材都做成带翼缘的：把金属放到最能发挥作用的地方。截面模量 W = I / ymax ——即同一惯性矩除以到受力最大纤维的距离。前者决定梁的刚度，后者决定梁的强度。
| 记号 | Ix, Iy ——对通过形心的轴；Wx, Wy |
| 单位 | I——长度的四次方：cm⁴、mm⁴、m⁴；W——三次方：cm³、mm³ |
| 矩形 | I = b·h³/12，W = b·h²/6；h——垂直于轴、沿荷载方向的边长 |
| 移轴 | 平行移轴定理：I = I₀ + A·a²，a——两轴间距 |
| 用途 | σ = M / W——强度验算；f = F·L³ / (48·E·I)——跨中受集中力的梁的挠度 |
| 从哪里查 | 型钢规格表——GOST 表格；任意轮廓——AutoCAD 中的 MASSPROP |
01 · 定义
面积乘以力臂的平方
梁弯曲时截面发生转动：一侧纤维伸长，另一侧缩短，中间的中性轴长度不变。纤维的伸长与它到轴的距离 y 成正比，应力也是，而该应力的力矩又多乘一个 y。因此总和中出现 y²，截面的材料离轴越远，抵抗弯曲的能力就越强。
矩形截面高度的三次方由此而来：高度加倍，I 变为八倍，W 变为四倍。型钢的翼缘和空心管也由此而来：离轴距离为 a 的翼缘，按平行移轴定理增加 A·a²。截面宽度 b 荷载就“不那么在意”了：它只以一次方出现。
同样的金属——不同的 I
各行截面的面积都相同——即每米梁的金属量相同。长条为对水平轴的惯性矩，对数刻度。右侧为 I 和 W。请选择面积。
五种截面，两种放置，一个力
主要操作是“开始试验”按钮。梁放在两个支座上，带测力传感器的压力机压头从上方在跨中下压。力增大到设定值，跨中下方的挠度计显示挠度，下缘纤维上的应变片显示应力。挠度与计算值 f = F·L³/(48·E·I) 比较，应力与材料的强度设计值比较。若 σ = M / W 超过它，梁即丧失强度：钢材屈服并保持弯曲，木材则断裂。场景下方可选择截面——木板、槽钢、钢轨、扁钢或铝型材——以及“立放”或“平放”和荷载。滑块可前后拖动试验过程。
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02 · 换算
幂次决定一切：1 cm⁴ = 10 000 mm⁴，而 1 cm³ = 1000 mm³。以毫米建模的 CAD 给出的 I 单位是 mm⁴——要除以 10⁴ 才能与型钢表比较。
美国型钢表以 in⁴ 表示 I：1 in⁴ = 41.62 cm⁴，1 in³ = 16.39 cm³。W8×10 梁为 30.8 in⁴，即 1282 cm⁴。
| 横截面 | Ix, cm⁴ | Wx, cm³ | A, cm² | 注 |
| {k} | {v} | {h} | {a} | {n} |
03 · 数量级
04 · 测量仪器
05 · 书写规则
系列 · 制图与 CAD
每页配套的案头提示06 · 相邻单位
07 · 历史部分
惯性矩不是用仪器测的，而是由尺寸算出的。所以 I 的精度取决于高度的精度。平放的 100×10 扁钢，厚度误差 0.2 mm 就是厚度的 2 %、惯性矩的 6 %。轧制型材有正负公差，型钢表按公称尺寸给出 I。
检验靠试验。对梁分级加载，由挠度算出 E·I 并与计算值比较。偏差超过 5–10 % 就要查找原因：木材的节疤和裂纹、焊接截面未焊透、支座变形。纤维上的应变片用同样的方法检验 W。
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一滴酸改变果汁的颜色，盐给火焰染色，水被轻敲一下就结冰。下面是 Simetrium 的全部页面，按学科和字母顺序排列。
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