Radián
Odvozená jednotka SI · veličina: rovinný úhel
01 · Definice
Radián je jediná jednotka SI, která se rovná jedné. Jeho rozměr je metr na metr, tedy žádný — a přesto má jméno, značku a místo v tabulce odvozených jednotek.
Jeden radián je úhel, při němž se délka oblouku rovná poloměru. Odtud jeho nepohodlný vzhled ve stupních: 57 stupňů 17 minut 45 vteřin. Zato se celá matematika zjednoduší: derivace sinu je kosinus jen tehdy, je-li argument v radiánech, délka oblouku je úhel krát poloměr a úhlová rychlost se měří v radiánech za sekundu zcela bez převodních součinitelů. Plná otáčka je 2π radiánů, a to je jediný důvod, proč π stojí v trigonometrii na každém řádku.
Úhlová rychlost se měří v radiánech za sekundu, kmitočet v hertzích, a obojí spojuje činitel 2π. Zapsat ω v hertzích lze formálně, když je radián bezrozměrný, ale brožura SI to nepřipouští: jsou to různé veličiny.
02 · Převod
Zadejte úhel — list jej přepočítá
Stupeň přežil metrickou reformu: pokus zavést grad, kde pravý úhel měří sto jednotek, ztroskotal všude kromě francouzské geodézie. Tři sta šedesát se beze zbytku dělí dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti a devíti — ta pohodlnost se ukázala silnější než desítková logika.
Miliradián je v praxi pohodlný: úhel jednoho miliradiánu dává posun jednoho metru na kilometr vzdálenosti. Střelci a dělostřelci počítají v tisícinách právě proto a počítání z hlavy se scvrkne na dělení.
| Jednotka | Název | Hodnota | Kde se vyskytuje |
|---|---|---|---|
| rad | radián, jednotka SI | 1 | matematika, fyzika, technika |
| mrad | miliradián | 1000 | zaměřovače, lasery, optika |
| µrad | mikroradián | 1 000 000 | seřizování, autokolimátor |
| nrad | nanoradián | 1·10⁹ | interferometrie |
| ot. | otáčka, 2π radiánů | 0,15915 | otáčení, vinutí |
| m/m | metr na metr — to je přesně 1 | 1 | radián je bezrozměrný |
| ° | stupeň, 1/360 kruhu | 57,3 | běžný život, geodézie, navigace |
| ′ | úhlová minuta, 1/60 stupně | 3438 | námořní mapy, astronomie |
| ″ | úhlová vteřina | 206 265 | teodolit, astrometrie |
| mas | milivteřina oblouku | 2,063·10⁸ | paralaxy hvězd |
| grad | grad (gon), 1/400 kruhu | 63,66 | francouzská geodézie |
| tisícina | tisícina, 1/6400 otáčky | 1019 | dělostřelectvo |
| rad | radián | 1 | dnešní jednotka |
Stupeň, úhlová minuta a vteřina zůstávají v SI jako jednotky mimo soustavu — bez nich se neobejde ani navigace, ani astronomie. Grad vznikl při francouzské metrické reformě: čtvrtkruh na sto dílů, ale ujal se jen v geodézii.
03 · Řády veličin
od rozlišení dalekohledu po plnou otáčkuJeden radián — 57,3 stupně
04 · Měřicí přístroje
Čím se měří úhly
Dělený kruh se čtecím mikroskopem: dalekohled se namíří na cíl a odečet se vezme s přesností na úhlovou vteřinu. Geodet mluví ve stupních, minutách a vteřinách, ale vestavěný počítač je převádí na radiány, protože jinak se trigonometrie spočítat nedá.
Kotouč se štěrbinami na hřídeli: fotopřijímač počítá impulzy a dělí otáčku na tisíce odečtů. Řídicí jednotka robota drží polohu kloubu rovnou v radiánech — tak se trigonometrie i derivace počítají bez jediného součinitele.
Vysílá rovnoběžný svazek na zrcadlo a zachytává odraz: náklon o mikroradiány posune značku o zlomky milimetru. Při takových úhlech se sinus, tangens i samotný úhel shodují do šesté číslice, proto přístroj prostě dělí posun ohniskovou vzdáleností.
Gaia měřila polohy hvězd s přesností asi dvaceti mikrovteřin oblouku — je to desetina nanoradiánu, tloušťka vlasu ze vzdálenosti dvou tisíc kilometrů. Úhly se tam počítají jen v radiánech: ve stupních se čísla přestanou vejít do číselného formátu.
05 · Pravidla zápisu
rad lze vynechat, značku stupně nikoli
Protože je radián bezrozměrný, «sin 2» a «sin 2 rad» znamenají totéž a v matematických textech se značka vynechává. Je-li však úhel ve stupních, znaménko je povinné: sin 2° se od sin 2 liší třicetkrát. Značka rad se píše malými písmeny; v dozimetrii je týž «rad» jednotkou absorbované dávky, proto se v ruských textech úhel píše «рад» jen s výhradou.
Stupeň, úhlová minuta a vteřina do SI nepatří, ale jsou k užívání připuštěny. Předpony se na ně nepoužívají: milistupeň neexistuje a zlomky se zapisují jako minuty a vteřiny nebo desetinně.
06 · Sousední jednotky
Radián a steradián jsou dvě bezrozměrné jednotky SI: první pro rovinný, druhá pro prostorový úhel. Obě se rovnají jedné, obě mají vlastní jméno a obě působí stejné trápení každému, kdo píše kontroly rozměrů.
Při úhlech menších než 0,1 radiánu se sinus, tangens i samotný úhel shodují lépe než na procento — na tom stojí celá optika malých odchylek i teorie kyvadla.
07 · Historický oddíl
Čím se dělil kruh před radiánem
Šedesátková stopa babylonské matematiky: dělí se beze zbytku dvěma, třemi, čtyřmi, pěti, šesti. Ptolemaios rozdělil stupeň na šedesát minut a minutu na šedesát vteřin, a zápis prošel osmnácti staletími beze změny.
Metrický pokus: pravý úhel měří sto gradů, celý kruh čtyři sta. Zůstal v evropské geodézii a v kalkulačkách toho oboru — zkratka GRA vedle DEG a RAD.
Zaměřovací jednotka: přibližně miliradián. V ruské tradici se kruh dělí na šest tisíc, v NATO na 6400. Pohodlnost je táž: jedna tisícina je metr na kilometru.
Kruh se dělí na 24 hodin podle denního otáčení Země. Rektascenze hvězd se dodnes vydávají v hodinách, minutách a vteřinách: jedna hodina je patnáct stupňů.
Jednotka, kterou nelze odstranit ani ponechat
Formálně se radián rovná jedné, proto se Mezinárodní výbor pro míry a váhy dlouho přel o jeho postavení: v roce 1960 jej nazvali doplňkovou jednotkou, v roce 1980 se navrhlo uznat jej za bezrozměrnou odvozenou jednotku a v roce 1995 padl kompromis — odvozená jednotka s vlastním jménem a rozměrem jedna. Praktická potíž zůstala: ve vzorcích jako ω = 2πf se radián objevuje a zase mizí, a systémy kontroly rozměrů v inženýrském softwaru musí úhel ošetřovat jako výjimku.
Katalog · Mezinárodní soustava jednotek
List pro každou veličinu
Sedm základních jednotek, dvaadvacet odvozených s vlastními názvy a archiv soustav, které vyšly z užívání. Každá má svůj list: definice, rozměr, převod, přístroje, pravidla zápisu. V 36 jazycích.