Radián
Unidad SI derivada · magnitud: ángulo plano
01 · Definición
El radián es la única unidad del SI que vale uno. Su dimensión es un metro por metro, es decir, ninguna — y sin embargo tiene nombre, símbolo y un lugar en la tabla de unidades derivadas.
Un radián es el ángulo para el cual la longitud del arco es igual al radio. De ahí su aspecto incómodo en grados: 57 grados 17 minutos 45 segundos. A cambio, toda la matemática se simplifica: la derivada del seno es el coseno solo si el argumento está en radianes, la longitud del arco es el ángulo por el radio, y la velocidad angular se mide en radianes por segundo sin ningún factor de conversión. Una vuelta completa son 2π radianes, y esa es la única razón por la que π aparece en cada línea de la trigonometría.
La velocidad angular se mide en radianes por segundo, la frecuencia en hercios, y ambas están ligadas por un factor 2π. Escribir ω en hercios es formalmente posible, ya que el radián es adimensional, pero el folleto del SI no lo admite: las magnitudes son distintas.
02 · Conversión
Introduzca un ángulo — la ficha lo convertirá
El grado sobrevivió a la reforma métrica: el intento de introducir el gradián, donde el ángulo recto vale cien unidades, fracasó en todas partes salvo en la geodesia francesa. Trescientos sesenta se divide sin resto entre dos, tres, cuatro, cinco, seis y nueve — esa comodidad resultó más fuerte que la lógica decimal.
El milirradián es cómodo en la práctica: un ángulo de un milirradián da un desplazamiento de un metro a un kilómetro de distancia. Tiradores y artilleros cuentan en milésimas precisamente por eso, y el cálculo mental se reduce a una división.
| Unidad | Nombre | Valor | Dónde se encuentra |
|---|---|---|---|
| rad | radián, unidad del SI | 1 | matemática, física, técnica |
| mrad | milirradián | 1000 | miras, láseres, óptica |
| µrad | microrradián | 1 000 000 | ajuste, autocolimador |
| nrad | nanorradián | 1·10⁹ | interferometría |
| vta | vuelta, 2π radianes | 0,15915 | rotación, bobinados |
| m/m | un metro por metro — eso es exactamente 1 | 1 | el radián es adimensional |
| ° | grado, 1/360 de círculo | 57,3 | vida diaria, geodesia, navegación |
| ′ | minuto de arco, 1/60 de grado | 3438 | cartas marinas, astronomía |
| ″ | segundo de arco | 206 265 | teodolito, astrometría |
| mas | milisegundo de arco | 2,063·10⁸ | paralajes estelares |
| gradián | gradián (gon), 1/400 de círculo | 63,66 | geodesia francesa |
| milésima | milésima, 1/6400 de vuelta | 1019 | artillería |
| rad | radián | 1 | la unidad actual |
El grado, el minuto y el segundo de arco siguen en el SI como unidades ajenas al sistema — ni la navegación ni la astronomía prescinden de ellos. El gradián nació con la reforma métrica francesa: un cuarto de círculo en cien partes, pero arraigó solo en la geodesia.
03 · Órdenes de magnitud
de la resolución de un telescopio a la vuelta completaUn radián — 57,3 grados
04 · Instrumentos de medida
Con qué se miden los ángulos
Un círculo dividido con microscopio de lectura: se apunta el anteojo al objetivo y se toma la lectura con precisión de segundo de arco. El topógrafo habla en grados, minutos y segundos, pero la calculadora incorporada los convierte a radianes, porque de otro modo la trigonometría no sale.
Un disco ranurado en el eje: un fotorreceptor cuenta impulsos y divide la vuelta en miles de cuentas. El controlador de un robot guarda la posición de la articulación directamente en radianes — así la trigonometría y las derivadas se calculan sin un solo coeficiente.
Envía un haz paralelo a un espejo y recoge el reflejo: una inclinación de unos microrradianes desplaza la marca fracciones de milímetro. Con ángulos así el seno, la tangente y el propio ángulo coinciden hasta la sexta cifra, por eso el instrumento simplemente divide el desplazamiento por la distancia focal.
Gaia medía las posiciones de las estrellas con una precisión de unos veinte microsegundos de arco — una décima de nanorradián, el grosor de un cabello visto desde dos mil kilómetros. Allí los ángulos se calculan solo en radianes: en grados los números dejan de caber en el formato numérico.
05 · Reglas de escritura
rad se puede omitir, el signo de grado no
Como el radián es adimensional, «sin 2» y «sin 2 rad» significan lo mismo, y en los textos matemáticos se omite el símbolo. Pero si el ángulo está en grados, el signo es obligatorio: sin 2° difiere de sin 2 en un factor treinta. El símbolo rad se escribe en minúsculas; en dosimetría ese mismo «rad» es una unidad de dosis absorbida, por eso en los textos rusos el ángulo se escribe «рад» solo con salvedad.
El grado, el minuto y el segundo de arco no forman parte del SI pero se admiten en el uso. No se les aplican prefijos: el milígrado no existe, y las fracciones se escriben como minutos y segundos o en decimales.
06 · Unidades vecinas
El radián y el estereorradián son las dos unidades adimensionales del SI: la primera para el ángulo plano, la segunda para el ángulo sólido. Ambas valen uno, ambas tienen nombre propio, y ambas dan el mismo quebradero de cabeza a quien escribe comprobaciones de dimensiones.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Con ángulos menores de 0,1 radián el seno, la tangente y el propio ángulo coinciden con precisión mejor que el uno por ciento — sobre eso descansan toda la óptica de pequeñas desviaciones y la teoría del péndulo.
07 · Sección histórica
Con qué se dividía el círculo antes del radián
Un rastro sexagesimal de la matemática babilónica: se divide sin resto entre dos, tres, cuatro, cinco, seis. Ptolomeo partió el grado en sesenta minutos y el minuto en sesenta segundos, y la notación ha llegado sin cambios a través de dieciocho siglos.
Un intento métrico: el ángulo recto vale cien gradianes, el círculo entero cuatrocientos. Quedó en la geodesia europea y en las calculadoras de ese oficio — la marca GRA junto a DEG y RAD.
Una unidad de puntería: aproximadamente un milirradián. En la tradición rusa el círculo se divide en seis mil, en la OTAN en 6400. La comodidad es la misma: una milésima es un metro a un kilómetro.
El círculo se divide en 24 horas según la rotación diaria de la Tierra. Las ascensiones rectas de las estrellas se publican todavía en horas, minutos y segundos: una hora son quince grados.
Una unidad que no se puede quitar ni se puede dejar
Formalmente el radián es igual a uno, por eso el Comité Internacional de Pesas y Medidas discutió largo tiempo sobre su condición: en 1960 se le llamó unidad suplementaria, en 1980 se propuso reconocerlo como unidad derivada adimensional, y en 1995 se adoptó un compromiso — unidad derivada con nombre propio y dimensión uno. El problema práctico siguió ahí: en fórmulas como ω = 2πf el radián aparece y desaparece, y los sistemas de comprobación de dimensiones en los programas de ingeniería se ven obligados a tratar el ángulo como una excepción.
Catálogo · Sistema Internacional de Unidades
Una ficha para cada magnitud
Siete unidades básicas, veintidós derivadas con nombre propio y el archivo de sistemas que han caído en desuso. Cada una tiene su ficha: definición, dimensión, conversión, instrumentos, reglas de escritura. En 36 idiomas.