Grau de arco
Unidade fora do SI admitida · grandeza: ângulo plano
01 · Definição
Trezentos e sessenta é o único número arbitrário de toda a metrologia que sobrevive a qualquer reforma. A razão não está na astronomia mas nos divisores.
O grau é uma tricentésima sexagésima parte da volta completa, isto é π/180 de radiano. Não se divide decimalmente: sessenta minutos de arco num grau, sessenta segundos num minuto — herança da contagem babilónica por sessentas que nos chegou por Ptolomeu. O grau não pertence ao SI mas é admitido, e fora da matemática o radiano não o desalojou em parte alguma: o mapa, o desenho, a navegação e todo o instrumento goniométrico trazem graus. O número 360 divide-se sem resto por 24 números diferentes, incluindo todos de um a seis — tente fazer o mesmo com 400 ou com 100.
Sessenta minutos de arco num grau não são capricho mas comodidade de divisão: sessenta divide-se por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. As tábuas babilónicas de inversos saíam curtas, as decimais teriam dado frações sem fim, e toda a trigonometria de Ptolomeu assenta precisamente nessa contagem.
02 · Conversão
Escreva um ângulo e a ficha desdobra-o pelas escalas
Os prefixos do SI não se aplicam ao grau: em vez de mili- e micrograus divide-se o ângulo em minutos e segundos, e em astrometria passa-se aos milissegundos de arco — ali o prefixo pertence ao segundo, não ao grau.
Um segundo de arco são quase cinco milímetros por quilómetro. Foi dele que nasceu a unidade astronómica de distância: a distância a partir da qual o raio da órbita terrestre se vê sob um segundo recebeu o nome de parsec.
| Unidade | Nome | Valor | Onde aparece |
|---|---|---|---|
| {u} | {name} | {value} | {note} |
03 · Ordens de grandeza
do microssegundo de arco à volta completa04 · Instrumentos de medição
Com que se tomam os ângulos
Limbos horizontal e vertical com traços de minuto a minuto e um micrómetro óptico para os segundos. Os modelos precisos tomam o ângulo com erro de meio segundo de arco.
A dupla reflexão permite trazer o astro até ao horizonte e tirar a sua altura de um convés que balança. O limbo abrange 60°, daí o nome do instrumento.
Na oficina e na obra os ângulos leem-se ao décimo de grau: escala mecânica, inclinómetro com acelerómetro ou nível laser com varrimento angular.
O Gaia mede as posições das estrelas com cerca de vinte microssegundos de arco de precisão — o ângulo sob o qual se vê um cabelo humano a mil quilómetros.
05 · Regras de escrita
O ângulo sem espaço, a temperatura com ele
O sinal do grau de arco põe-se colado ao número: 25°. O grau Celsius é uma unidade de outra ordem, e aí o espaço é obrigatório: 25 °C. Os minutos e segundos de arco marcam-se com plica e dupla plica, não com apóstrofo e aspas. Dentro da notação sexagesimal não há espaços: 41°24′12″. A parte decimal só é admitida na última casa.
As coordenadas escrevem-se em sexagesimal ou em graus decimais com sinal: 55,7558° e 37,6173° para Moscovo, menos para a latitude sul e a longitude oeste. Misturar as formas na mesma linha não se admite — é a causa mais frequente de erro nos geodados.
06 · Unidades vizinhas
O ângulo plano mede-se em três escalas: o radiano reina na matemática, o grau na prática, e o minuto e o segundo de arco dividem o grau onde a fração decimal incomoda. Os três são adimensionais e convertem-se entre si por fatores.
Um minuto de arco ao longo do meridiano é a milha náutica, 1852 metros por definição. A navegação marítima e a grelha de graus seguram-se uma à outra justamente por essa coincidência.
07 · Secção histórica
Os que tentaram dividir a volta de outro modo
A versão métrica do ângulo: 400 grados por volta, exatamente 100 no ângulo reto. Sobreviveu à reforma apenas na geodesia francesa e na tecla GRA das calculadoras.
O ângulo sob o qual um metro se vê a um quilómetro. A NATO divide a volta em 6400 dessas unidades, a tradição soviética em 6000, e as suas graduações de mira não coincidem.
A rosa dos ventos divide o horizonte em 32 partes. O rumo dizia-se por palavras — «nor-nordeste» — e isso era mais seguro do que ler algarismos no escuro com o mar picado.
O céu roda, por isso a ascensão reta mede-se em tempo: 24 horas por volta completa. Os catálogos de estrelas ainda hoje se imprimem em horas, minutos e segundos de tempo.
O número 360 sustenta-se não pela tradição mas pela divisibilidade
A reforma métrica substituiu quase tudo: os côvados por metros, as libras por quilogramas, mas o ângulo não conseguiu levar. O grado com as suas quatrocentas partes foi honestamente introduzido por decreto e ficou só em dois ou três serviços geodésicos nacionais. A razão é simples: 360 divide-se por 24 números diferentes, entre eles todos de um a seis, e ainda oito, nove, dez, doze e quinze. Um terço da volta são exatamente 120°, um sexto exatamente 60°, ao passo que em grados as mesmas partes dão 133,33 e 66,67. Para um desenho, um mapa e o limbo de um instrumento isso decide tudo. O radiano é matematicamente impecável, mas um ângulo de 0,5236 radianos não se traça sem calculadora, ao passo que trinta graus traça-os qualquer transferidor.
Catálogo · unidades de medida
Uma ficha para cada grandeza
Sete unidades de base do SI, vinte e duas derivadas com nome próprio e as unidades fora do SI sem as quais não passam nem a técnica nem o dia a dia. Cada uma tem a sua ficha: definição, conversão, instrumentos, regras de escrita. Em 36 idiomas.
Unidades fora do SI
abra a ficha do grauUnidades de base do SI
um ângulo é adimensional — não contém unidades de baseUnidades derivadas do SI com nome próprio
a terracota — as unidades SI do ânguloIdioma da ficha
36 idiomas. O símbolo ha e as fórmulas não se traduzem — são iguais em toda a parte; traduz-se o texto, as medidas agrárias locais e as regras de escrita.