Grado d’arco
Unità fuori dal SI ammessa · grandezza: angolo piano
01 · Definizione
Trecentosessanta è l’unico numero arbitrario di tutta la metrologia che sopravviva a ogni riforma. La ragione non sta nell’astronomia ma nei divisori.
Il grado è un trecentosessantesimo del giro completo, cioè π/180 di radiante. Non si divide in modo decimale: sessanta primi d’arco in un grado, sessanta secondi in un primo — eredità del conto babilonese per sessantine, giunta a noi attraverso Tolomeo. Il grado non appartiene al SI ma vi è ammesso, e fuori dalla matematica il radiante non l’ha soppiantato in nessun luogo: la carta, il disegno, la navigazione e ogni strumento goniometrico portano gradi. Il numero 360 si divide senza resto per 24 numeri diversi, compresi tutti da uno a sei — provate a fare altrettanto con 400 o con 100.
Sessanta primi d’arco in un grado non sono un capriccio ma una comodità di divisione: sessanta si divide per 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. Le tavole babilonesi dei reciproci venivano corte, quelle decimali avrebbero dato frazioni senza fine, e tutta la trigonometria di Tolomeo poggia proprio su questo conto.
02 · Conversione
Inserisci un angolo e la scheda lo dispiega sulle scale
I prefissi del SI non si applicano al grado: invece di milli- e microgradi l’angolo si divide in primi e secondi, e in astrometria si passa ai millisecondi d’arco — lì il prefisso appartiene al secondo, non al grado.
Un secondo d’arco è poco meno di cinque millimetri al chilometro. Da esso è nata l’unità astronomica di distanza: la distanza dalla quale il raggio dell’orbita terrestre si vede sotto un secondo ha preso il nome di parsec.
| Unità | Nome | Valore | Dove si incontra |
|---|---|---|---|
| {u} | {name} | {value} | {note} |
03 · Ordini di grandezza
dal microsecondo d’arco al giro completo04 · Strumenti di misura
Con che si prendono gli angoli
Lembi orizzontale e verticale con tacche di primo in primo e un micrometro ottico per i secondi. I modelli precisi prendono l’angolo con errore di mezzo secondo d’arco.
La doppia riflessione permette di portare l’astro sull’orizzonte e di prenderne l’altezza da una tolda che rolla. Il lembo copre 60°, da qui il nome dello strumento.
In officina e in cantiere gli angoli si leggono al decimo di grado: scala meccanica, inclinometro ad accelerometro o livella laser a scansione angolare.
Gaia misura le posizioni delle stelle con una precisione di circa venti microsecondi d’arco — l’angolo sotto cui si vede un capello umano da mille chilometri.
05 · Regole di scrittura
L’angolo senza spazio, la temperatura con lo spazio
Il segno del grado d’arco si mette attaccato al numero: 25°. Il grado Celsius è un’unità di altro genere, e lì lo spazio è obbligatorio: 25 °C. I primi e i secondi d’arco si segnano con l’apice e il doppio apice, non con l’apostrofo e le virgolette. Dentro la notazione sessagesimale non ci sono spazi: 41°24′12″. La parte decimale è ammessa solo nell’ultima cifra.
Le coordinate si scrivono o in sessagesimale o in gradi decimali con segno: 55,7558° e 37,6173° per Mosca, meno per la latitudine sud e la longitudine ovest. Mescolare le forme sulla stessa riga non è ammesso: è la causa di errore più frequente nei geodati.
06 · Unità vicine
L’angolo piano si misura su tre scale: il radiante regna nella matematica, il grado nella pratica, e il primo e il secondo d’arco dividono il grado dove la frazione decimale è scomoda. Tutte e tre sono adimensionali e si convertono l’una nell’altra per fattori.
Un primo d’arco lungo il meridiano è il miglio nautico, 1852 metri per definizione. La navigazione marittima e la griglia dei gradi si reggono l’una all’altra proprio per questa coincidenza.
07 · Sezione storica
Chi ha provato a dividere il giro altrimenti
La versione metrica dell’angolo: 400 gradi centesimali al giro, esattamente 100 nell’angolo retto. È sopravvissuta alla riforma solo nella geodesia francese e nel tasto GRA delle calcolatrici.
L’angolo sotto cui si vede un metro da un chilometro. La NATO divide il giro in 6400 di queste unità, la tradizione sovietica in 6000, e le loro alzo non coincidono.
La rosa dei venti divide l’orizzonte in 32 parti. La rotta si diceva a parole — «nord-nord-est» — ed era più sicuro che leggere cifre al buio con il mare grosso.
Il cielo ruota, perciò l’ascensione retta si misura in tempo: 24 ore per un giro completo. I cataloghi stellari si stampano ancora oggi in ore, minuti e secondi di tempo.
Il numero 360 si regge non sulla tradizione ma sulla divisibilità
La riforma metrica sostituì quasi tutto: i cubiti con i metri, le libbre con i chilogrammi, ma l’angolo non riuscì a prenderlo. Il grado centesimale con le sue quattrocento parti fu onestamente introdotto per decreto, e rimase solo in due o tre servizi geodetici nazionali. La ragione è semplice: 360 si divide per 24 numeri diversi, fra cui tutti da uno a sei, e poi otto, nove, dieci, dodici e quindici. Un terzo di giro fa esattamente 120°, un sesto esattamente 60°, mentre in gradi centesimali le stesse parti danno 133,33 e 66,67. Per un disegno, una carta e il lembo di uno strumento questo decide tutto. Il radiante è matematicamente impeccabile, ma un angolo di 0,5236 radianti non si traccia senza calcolatrice, mentre trenta gradi li traccia qualunque goniometro.
Catalogo · unità di misura
Una scheda per ogni grandezza
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Unità fuori SI
apri la scheda del gradoUnità di base del SI
un angolo è adimensionale: non contiene unità di baseUnità derivate SI con nome proprio
in terracotta — le unità SI dell’angoloLingua della scheda
36 lingue. Il simbolo ha e le formule non si traducono — sono gli stessi ovunque; si traducono il testo, le misure agrarie locali e le regole di scrittura.