Radiante
Unità SI derivata · grandezza: angolo piano
01 · Definizione
Il radiante è l’unica unità del SI che vale uno. La sua dimensione è un metro al metro, cioè nessuna — e tuttavia ha un nome, un simbolo e un posto nella tabella delle unità derivate.
Un radiante è l’angolo per cui la lunghezza dell’arco è uguale al raggio. Di qui il suo aspetto scomodo in gradi: 57 gradi 17 primi 45 secondi. In cambio tutta la matematica si semplifica: la derivata del seno è il coseno solo se l’argomento è in radianti, la lunghezza dell’arco è l’angolo per il raggio, e la velocità angolare si misura in radianti al secondo senza alcun fattore di conversione. Un giro completo vale 2π radianti, ed è l’unica ragione per cui π compare in trigonometria a ogni riga.
La velocità angolare si misura in radianti al secondo, la frequenza in hertz, e le due sono legate da un fattore 2π. Scrivere ω in hertz è formalmente possibile, poiché il radiante è adimensionale, ma la brochure del SI non lo ammette: le grandezze sono diverse.
02 · Conversione
Inserisci un angolo — la scheda lo converte
Il grado sopravvisse alla riforma metrica: il tentativo di introdurre il grado centesimale, in cui l’angolo retto vale cento unità, fallì ovunque tranne che nella geodesia francese. Trecentosessanta si divide senza resto per due, tre, quattro, cinque, sei e nove — quella comodità si rivelò più forte della logica decimale.
Il milliradiante è comodo in pratica: un angolo di un milliradiante dà uno spostamento di un metro a un chilometro di distanza. Tiratori e artiglieri contano in millesimi proprio per questo, e il calcolo a mente si riduce a una divisione.
| Unità | Nome | Valore | Dove si incontra |
|---|---|---|---|
| rad | radiante, unità del SI | 1 | matematica, fisica, tecnica |
| mrad | milliradiante | 1000 | cannocchiali, laser, ottica |
| µrad | microradiante | 1 000 000 | messa a punto, autocollimatore |
| nrad | nanoradiante | 1·10⁹ | interferometria |
| giri | giro, 2π radianti | 0,15915 | rotazione, avvolgimenti |
| m/m | un metro al metro — è esattamente 1 | 1 | il radiante è adimensionale |
| ° | grado, 1/360 di cerchio | 57,3 | vita quotidiana, geodesia, navigazione |
| ′ | primo d’arco, 1/60 di grado | 3438 | carte nautiche, astronomia |
| ″ | secondo d’arco | 206 265 | teodolite, astrometria |
| mas | millisecondo d’arco | 2,063·10⁸ | parallassi stellari |
| gon | grado centesimale (gon), 1/400 di cerchio | 63,66 | geodesia francese |
| millesimo | millesimo, 1/6400 di giro | 1019 | artiglieria |
| rad | radiante | 1 | l’unità odierna |
Il grado, il primo e il secondo d’arco restano nel SI come unità fuori sistema — non ne fanno a meno né la navigazione né l’astronomia. Il grado centesimale nacque dalla riforma metrica francese: un quarto di cerchio in cento parti, ma attecchì solo nella geodesia.
03 · Ordini di grandezza
dalla risoluzione di un telescopio al giro completoUn radiante — 57,3 gradi
04 · Strumenti di misura
Con che cosa si misurano gli angoli
Un cerchio diviso con microscopio di lettura: si punta il cannocchiale sul bersaglio e si prende la lettura con precisione al secondo d’arco. Il geometra parla in gradi, primi e secondi, ma il calcolatore incorporato li converte in radianti, perché altrimenti la trigonometria non si calcola.
Un disco fessurato sull’albero: un fotorivelatore conta gli impulsi e divide il giro in migliaia di conteggi. Il controllore di un robot tiene la posizione dell’articolazione direttamente in radianti — così trigonometria e derivate si calcolano senza un solo coefficiente.
Manda un fascio parallelo su uno specchio e ne raccoglie il riflesso: un’inclinazione di qualche microradiante sposta la mira di frazioni di millimetro. A tali angoli il seno, la tangente e l’angolo stesso coincidono fino alla sesta cifra, perciò lo strumento si limita a dividere lo spostamento per la distanza focale.
Gaia misurava le posizioni delle stelle con precisione di circa venti microsecondi d’arco — un decimo di nanoradiante, lo spessore di un capello visto da duemila chilometri. Là gli angoli si calcolano solo in radianti: in gradi i numeri smettono di entrare nel formato numerico.
05 · Regole di scrittura
rad si può omettere, il segno di grado no
Poiché il radiante è adimensionale, «sin 2» e «sin 2 rad» significano la stessa cosa, e nei testi matematici il simbolo si omette. Ma se l’angolo è in gradi, il segno è obbligatorio: sin 2° differisce da sin 2 di trenta volte. Il simbolo rad si scrive in minuscolo; in dosimetria lo stesso «rad» è un’unità di dose assorbita, perciò nei testi russi l’angolo si scrive «рад» solo con riserva.
Il grado, il primo e il secondo d’arco non fanno parte del SI ma sono ammessi all’uso. Non si applicano loro prefissi: il milligrado non esiste, e le frazioni si scrivono come primi e secondi oppure in decimali.
06 · Unità vicine
Il radiante e lo steradiante sono le due unità adimensionali del SI: la prima per l’angolo piano, la seconda per l’angolo solido. Entrambe valgono uno, entrambe hanno un nome proprio, ed entrambe danno lo stesso grattacapo a chi scrive controlli di dimensioni.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Per angoli minori di 0,1 radianti il seno, la tangente e l’angolo stesso coincidono meglio dell’uno per cento — su questo si reggono tutta l’ottica delle piccole deviazioni e la teoria del pendolo.
07 · Sezione storica
Con che cosa si divideva il cerchio prima del radiante
Una traccia sessagesimale della matematica babilonese: si divide senza resto per due, tre, quattro, cinque, sei. Tolomeo spartì il grado in sessanta primi e il primo in sessanta secondi, e la notazione ha attraversato diciotto secoli senza mutare.
Un tentativo metrico: l’angolo retto vale cento gradi centesimali, il cerchio intero quattrocento. È rimasto nella geodesia europea e nelle calcolatrici di quel mestiere — la sigla GRA accanto a DEG e RAD.
Un’unità di mira: all’incirca un milliradiante. Nella tradizione russa il cerchio si divide in seimila, nella NATO in 6400. La comodità è la stessa: un millesimo è un metro a un chilometro.
Il cerchio si divide in 24 ore secondo la rotazione diurna della Terra. Le ascensioni rette delle stelle si pubblicano ancora in ore, primi e secondi: un’ora vale quindici gradi.
Un’unità che non si può togliere né si può tenere
Formalmente il radiante è uguale a uno, perciò il Comitato internazionale dei pesi e delle misure discusse a lungo del suo stato: nel 1960 lo chiamarono unità supplementare, nel 1980 si propose di riconoscerlo come unità derivata adimensionale, e nel 1995 fu adottato un compromesso — unità derivata con nome proprio e dimensione uno. Il problema pratico è rimasto: in formule come ω = 2πf il radiante compare e scompare, e i sistemi di controllo delle dimensioni nei programmi di ingegneria sono costretti a trattare l’angolo come un’eccezione.
Catalogo · Sistema internazionale di unità
Una scheda per ogni grandezza
Sette unità di base, ventidue derivate con nome proprio e l’archivio dei sistemi usciti d’uso. Ognuna ha la sua scheda: definizione, dimensione, conversione, strumenti, regole di scrittura. In 36 lingue.