01 · 定義
ラジアンは一に等しい唯一のSI単位である。その次元はメートル毎メートル、つまり次元がない——それでいて名も記号ももち、組立単位の表にも席がある。
一ラジアンとは、弧の長さが半径に等しくなる角である。だから度で表すと具合が悪い：57度17分45秒。その代わり数学がまるごと簡単になる：正弦の導関数が余弦になるのは引数がラジアンのときだけ、弧の長さは角に半径を掛けたもの、角速度は換算係数なしに毎秒ラジアンで測られる。一回転は2πラジアン、三角法のどの行にもπが現れる理由はそれだけである。
角速度は毎秒ラジアンで、周波数はヘルツで測られ、両者は2πという因子で結ばれる。ラジアンは無次元だからωをヘルツで書くことも形の上では可能だが、SIの小冊子はそれを許さない：量が別物だからである。
02 · 換算
角を入れてください——一覧が換算します
度は度量衡改革を生きのびた。直角を百単位とするグラードを導入する試みは、フランスの測量を除いてどこでも失敗した。三百六十は二・三・四・五・六・九で割り切れる——その便利さが十進の論理より強いと分かった。
ミリラジアンは実務で使い勝手がよい：一ミリラジアンの角は一キロ先で一メートルのずれを与える。狙撃手も砲兵もまさにそのために密位で数え、暗算は割り算ひとつに落ちつく。
| 単位 | 名称 | 値 | どこで出会うか |
|---|---|---|---|
| rad | ラジアン、SI単位 | 1 | 数学、物理学、技術 |
| mrad | ミリラジアン | 1000 | 照準器、レーザー、光学 |
| µrad | マイクロラジアン | 1 000 000 | 調整、オートコリメータ |
| nrad | ナノラジアン | 1·10⁹ | 干渉計測 |
| 回 | 回転、2πラジアン | 0.15915 | 回転、巻線 |
| m/m | メートル毎メートル——それはちょうど1 | 1 | ラジアンは無次元 |
| ° | 度、円の1/360 | 57.3 | 日常、測量、航海 |
| ′ | 分角、度の1/60 | 3438 | 海図、天文学 |
| ″ | 秒角 | 206 265 | 経緯儀、位置天文学 |
| mas | ミリ秒角 | 2.063·10⁸ | 恒星の年周視差 |
| グラード | グラード（gon）、円の1/400 | 63.66 | フランスの測量 |
| 密位 | 密位、一回転の1/6400 | 1019 | 砲兵 |
| rad | ラジアン | 1 | 今日の単位 |
度・分角・秒角はSIの外の単位としてSIに残る——航海も天文もそれなしでは済まない。グラードはフランスの度量衡改革で生まれた：四分円を百分割するもので、測量にだけ根づいた。
03 · 桁の並び
望遠鏡の分解能から一回転まで一ラジアン——57.3度
04 · 測定器
角は何で測るか
読取顕微鏡を備えた目盛環：望遠鏡を目標に向け、読みを秒角の精度で取る。測量者は度・分・秒で語るが、内蔵の計算機がそれをラジアンに直す。そうしなければ三角法が計算できないからである。
軸に取りつけたスリット入りの円板：光検出器がパルスを数え、一回転を数千の目盛に分ける。ロボットの制御装置は関節の位置をそのままラジアンで保つ——そうすれば三角法も微分も係数ひとつなしに計算できる。
平行な光束を鏡に送り、反射を捉える：数マイクロラジアンの傾きが標線をミリの何分の一か動かす。そのような角では正弦も正接も角そのものも六桁目まで一致するので、装置はずれを焦点距離で割るだけでよい。
ガイアは恒星の位置をおよそ二十マイクロ秒角の精度で測った——ナノラジアンの十分の一、二千キロ先から見た髪の毛の太さである。そこでは角をラジアンでしか計算しない：度では数値が数の形式に収まらなくなる。
05 · 表記の規則
rad は省けるが、度の記号は省けない
ラジアンは無次元なので「sin 2」と「sin 2 rad」は同じことを意味し、数学の文章では記号を省く。だが角が度なら記号は必須である：sin 2° と sin 2 は三十倍違う。記号 rad は小文字で書く。線量測定では同じ「rad」が吸収線量の単位なので、ロシア語の文章では断りつきでしか角を「рад」と書かない。
度・分角・秒角はSIには入らないが、使用は認められている。それらに接頭辞は付けない：ミリ度というものはなく、端数は分と秒で書くか小数で書く。
06 · 隣り合う単位
ラジアンとステラジアンはSIの二つの無次元単位である：前者は平面角、後者は立体角のためのもの。どちらも一に等しく、どちらも固有の名をもち、そしてどちらも次元検査を書く者に同じ頭痛をもたらす。
m / m
m² / m²
ω = 2πf
0.1ラジアンより小さい角では、正弦も正接も角そのものも一パーセントよりよく一致する——微小変位の光学も振り子の理論も、そこに立っている。
07 · 歴史の部
ラジアン以前、円は何で分けられていたか
バビロニア数学の六十進法の名残：二・三・四・五・六で割り切れる。プトレマイオスは度を六十の分に、分を六十の秒に分け、その書き方は十八世紀を変わらずに越えてきた。
度量衡改革の試み：直角は百グラード、円ひとまわりは四百。ヨーロッパの測量とその職の電卓に残った——DEG と RAD の隣の GRA という表示である。
照準の単位：おおよそ一ミリラジアン。ロシアの伝統では円を六千に、NATOでは6400に分ける。便利さは同じである：一密位は一キロで一メートル。
円は地球の日周回転にしたがって24時間に分けられる。恒星の赤経は今日でも時・分・秒で公表される：一時間は十五度である。
取り去ることも残すこともできない単位
形の上ではラジアンは一に等しい。だから国際度量衡委員会はその位置づけを長く争った：1960年には補助単位と呼び、1980年には無次元の組立単位と認めることが提案され、1995年に妥協が成った——固有の名をもち、次元が一である組立単位である。実務の困りごとは残った：ω = 2πf のような式ではラジアンが現れたり消えたりし、工学ソフトの次元検査は角を例外として扱わざるをえない。
カタログ · 国際単位系
それぞれの量に一つの要覧
七つの基本単位、固有の名をもつ二十二の組立単位、そして使われなくなった体系の記録。それぞれに自分の一覧がある：定義、次元、換算、器具、書き方の決まり。36言語で。