Radijan
Izvedena SI jedinica · veličina: ravan ugao
01 · Definicija
Radijan je jedina SI jedinica koja je jednaka jedinici. Njegova dimenzija je metar po metru, dakle nikakva — a ipak ima ime, oznaku i mesto u tablici izvedenih jedinica.
Jedan radijan je ugao pri kojem je dužina luka jednaka poluprečniku. Otuda njegov nezgodan izgled u stepenima: 57 stepeni 17 minuta 45 sekundi. Zauzvrat se sva matematika pojednostavljuje: izvod sinusa jeste kosinus samo ako je argument u radijanima, dužina luka je ugao puta poluprečnik, a ugaona brzina se meri u radijanima u sekundi bez ikakvih pretvornih koeficijenata. Pun obrtaj je 2π radijana, i to je jedini razlog zbog kojeg se π u trigonometriji javlja u svakom redu.
Ugaona brzina se meri u radijanima u sekundi, frekvencija u hercima, a povezuje ih činilac 2π. Zapisati ω u hercima formalno je moguće, pošto je radijan bezdimenzion, ali brošura SI to ne dozvoljava: veličine su različite.
02 · Pretvaranje
Unesite ugao — list će ga pretvoriti
Stepen je preživeo metričku reformu: pokušaj da se uvede gradijan, gde prav ugao iznosi sto jedinica, propao je svuda osim u francuskoj geodeziji. Trista šezdeset se bez ostatka deli sa dva, tri, četiri, pet, šest i devet — ta pogodnost se pokazala jačom od decimalne logike.
Miliradijan je u praksi zgodan: ugao od jednog miliradijana daje pomeraj od jednog metra na kilometru rastojanja. Strelci i artiljerci baš zato računaju u hiljaditim delovima, a računanje napamet svodi se na jedno deljenje.
| Jedinica | Naziv | Vrednost | Gde se sreće |
|---|---|---|---|
| rad | radijan, SI jedinica | 1 | matematika, fizika, tehnika |
| mrad | miliradijan | 1000 | nišani, laseri, optika |
| µrad | mikroradijan | 1 000 000 | podešavanje, autokolimator |
| nrad | nanoradijan | 1·10⁹ | interferometrija |
| obr. | obrtaj, 2π radijana | 0,15915 | obrtanje, namotaji |
| m/m | metar po metru — to je tačno 1 | 1 | radijan je bezdimenzion |
| ° | stepen, 1/360 kruga | 57,3 | svakodnevica, geodezija, navigacija |
| ′ | lučni minut, 1/60 stepena | 3438 | pomorske karte, astronomija |
| ″ | sekunda luka | 206 265 | teodolit, astrometrija |
| mas | milisekunda luka | 2,063·10⁸ | paralakse zvezda |
| gradijan | gradijan (gon), 1/400 kruga | 63,66 | francuska geodezija |
| hilj. | hiljaditi deo, 1/6400 obrtaja | 1019 | artiljerija |
| rad | radijan | 1 | današnja jedinica |
Stepen, lučni minut i sekunda ostaju u SI kao jedinice izvan sistema — bez njih ne mogu ni navigacija ni astronomija. Gradijan je nastao u francuskoj metričkoj reformi: četvrtina kruga na sto delova, ali se ukorenio samo u geodeziji.
03 · Redovi veličina
od moći razlaganja teleskopa do punog obrtajaJedan radijan — 57,3 stepena
04 · Merni instrumenti
Čime se mere uglovi
Podeljeni krug sa mikroskopom za očitavanje: durbin se nacilja na metu i očitavanje se uzima sa tačnošću do lučne sekunde. Geometar govori u stepenima, minutima i sekundama, ali ugrađeni računar ih pretvara u radijane, jer se inače trigonometrija ne može izračunati.
Disk sa prorezima na vratilu: fotoprijemnik broji impulse i deli obrtaj na hiljade očitavanja. Upravljačka jedinica robota drži položaj zgloba pravo u radijanima — tako se trigonometrija i izvodi računaju bez ijednog koeficijenta.
Šalje paralelan snop na ogledalo i hvata odraz: nagib od nekoliko mikroradijana pomera oznaku za delove milimetra. Pri takvim uglovima sinus, tangens i sam ugao poklapaju se do šeste cifre, zato instrument prosto deli pomeraj žižnom daljinom.
Gaja je merila položaje zvezda sa tačnošću od oko dvadeset mikrosekundi luka — to je desetina nanoradijana, debljina vlasi kose gledane sa dve hiljade kilometara. Tamo se uglovi računaju samo u radijanima: u stepenima brojevi prestaju da staju u brojčani format.
05 · Pravila pisanja
rad se može izostaviti, znak stepena ne
Pošto je radijan bezdimenzion, «sin 2» i «sin 2 rad» znače isto, a u matematičkim tekstovima se oznaka izostavlja. Ali ako je ugao u stepenima, znak je obavezan: sin 2° se od sin 2 razlikuje trideset puta. Oznaka rad piše se malim slovima; u dozimetriji je isti «rad» jedinica apsorbovane doze, zato se u ruskim tekstovima ugao piše «рад» samo uz ogradu.
Stepen, lučni minut i sekunda ne pripadaju SI ali su dopušteni u upotrebi. Prefiksi im se ne dodaju: milistepen ne postoji, a delovi se pišu kao minuti i sekunde ili decimalno.
06 · Susedne jedinice
Radijan i steradijan su dve bezdimenzione SI jedinice: prva za ravan, druga za prostorni ugao. Obe su jednake jedinici, obe imaju sopstveno ime, i obe zadaju istu glavobolju svakome ko piše provere dimenzija.
Pri uglovima manjim od 0,1 radijana sinus, tangens i sam ugao poklapaju se bolje od jednog procenta — na tome počiva sva optika malih otklona i teorija klatna.
07 · Istorijski deo
Čime se krug delio pre radijana
Šezdesetični trag vavilonske matematike: deli se bez ostatka sa dva, tri, četiri, pet, šest. Ptolemej je podelio stepen na šezdeset minuta, a minut na šezdeset sekundi, i taj zapis je prošao osamnaest vekova nepromenjen.
Metrički pokušaj: prav ugao iznosi sto gradijana, ceo krug četiri stotine. Ostao je u evropskoj geodeziji i u kalkulatorima te struke — oznaka GRA pored DEG i RAD.
Nišanska jedinica: otprilike jedan miliradijan. U ruskoj tradiciji se krug deli na šest hiljada, u NATO na 6400. Pogodnost je ista: jedan hiljaditi deo je metar na kilometru.
Krug se deli na 24 časa prema dnevnom obrtanju Zemlje. Rektascenzije zvezda se i danas objavljuju u časovima, minutima i sekundama: jedan čas je petnaest stepeni.
Jedinica koja se ne može ni ukloniti ni zadržati
Formalno je radijan jednak jedinici, zato se Međunarodni komitet za tegove i mere dugo sporio oko njegovog statusa: 1960. godine nazvali su ga dopunskom jedinicom, 1980. je predloženo da se prizna kao bezdimenziona izvedena jedinica, a 1995. je usvojen kompromis — izvedena jedinica sa sopstvenim imenom i dimenzijom jedan. Praktična nevolja je ostala: u formulama poput ω = 2πf radijan se čas pojavljuje čas nestaje, a sistemi provere dimenzija u inženjerskom softveru primorani su da ugao tretiraju kao izuzetak.
Katalog · Međunarodni sistem jedinica
List za svaku veličinu
Sedam osnovnih jedinica, dvadeset dve izvedene sa sopstvenim imenima i arhiva sistema koji su izašli iz upotrebe. Svaka ima svoj list: definicija, dimenzija, pretvaranje, instrumenti, pravila pisanja. Na 36 jezika.