Radiaal
Afgeleide SI-eenheid · grootheid: vlakke hoek
01 · Definitie
De radiaal is de enige SI-eenheid die gelijk is aan één. Zijn dimensie is een meter per meter, dus geen enkele — en toch heeft hij een naam, een symbool en een plaats in de tabel van afgeleide eenheden.
Eén radiaal is de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal. Vandaar zijn onhandige uiterlijk in graden: 57 graden 17 minuten 45 seconden. Daar staat tegenover dat de hele wiskunde eenvoudiger wordt: de afgeleide van de sinus is alleen de cosinus als het argument in radialen staat, de booglengte is hoek maal straal, en de hoeksnelheid wordt in radialen per seconde gemeten zonder enige omrekenfactor. Een volle omwenteling is 2π radialen, en dat is de enige reden waarom π in de goniometrie op elke regel staat.
De hoeksnelheid wordt in radialen per seconde gemeten, de frequentie in hertz, en beide zijn verbonden door een factor 2π. ω in hertz schrijven kan formeel, omdat de radiaal dimensieloos is, maar de SI-brochure staat het niet toe: het zijn verschillende grootheden.
02 · Omrekening
Voer een hoek in — het blad rekent hem om
De graad overleefde de metrieke hervorming: de poging de gon in te voeren, waarbij een rechte hoek honderd eenheden meet, mislukte overal behalve in de Franse landmeetkunde. Driehonderdzestig deelt zonder rest door twee, drie, vier, vijf, zes en negen — dat gemak bleek sterker dan de decimale logica.
De milliradiaal is in de praktijk handig: een hoek van één milliradiaal geeft een verschuiving van één meter op een kilometer afstand. Scherpschutters en artilleristen rekenen juist daarom in duizendsten, en het hoofdrekenen komt neer op een deling.
| Eenheid | Naam | Waarde | Waar het voorkomt |
|---|---|---|---|
| rad | radiaal, SI-eenheid | 1 | wiskunde, natuurkunde, techniek |
| mrad | milliradiaal | 1000 | vizieren, lasers, optica |
| µrad | microradiaal | 1 000 000 | uitlijning, autocollimator |
| nrad | nanoradiaal | 1·10⁹ | interferometrie |
| omw. | omwenteling, 2π radialen | 0,15915 | draaiing, wikkelingen |
| m/m | een meter per meter — dat is precies 1 | 1 | de radiaal is dimensieloos |
| ° | graad, 1/360 cirkel | 57,3 | dagelijks leven, landmeetkunde, navigatie |
| ′ | boogminuut, 1/60 graad | 3438 | zeekaarten, sterrenkunde |
| ″ | boogseconde | 206 265 | theodoliet, astrometrie |
| mas | milliboogseconde | 2,063·10⁸ | sterparallaxen |
| gon | gon, 1/400 cirkel | 63,66 | Franse landmeetkunde |
| duizendste | duizendste, 1/6400 omwenteling | 1019 | artillerie |
| rad | radiaal | 1 | de huidige eenheid |
De graad, de boogminuut en de boogseconde blijven in het SI als eenheden buiten het stelsel — noch de navigatie noch de sterrenkunde kan zonder. De gon ontstond bij de Franse metrieke hervorming: een kwartcirkel in honderd delen, maar hij wortelde alleen in de landmeetkunde.
03 · Ordes van grootte
van de resolutie van een telescoop tot de volle omwentelingEén radiaal — 57,3 graden
04 · Meetinstrumenten
Waarmee hoeken worden gemeten
Een verdeelde cirkel met afleesmicroscoop: de kijker wordt op het doel gericht en de aflezing tot op de boogseconde genomen. De landmeter spreekt in graden, minuten en seconden, maar de ingebouwde rekenaar zet ze om in radialen, want anders is de goniometrie niet te rekenen.
Een schijf met sleuven op de as: een fotodetector telt pulsen en verdeelt de omwenteling in duizenden tellingen. De besturing van een robot houdt de gewrichtsstand rechtstreeks in radialen bij — zo worden goniometrie en afgeleiden zonder één enkele coëfficiënt gerekend.
Hij stuurt een evenwijdige bundel op een spiegel en vangt de weerkaatsing op: een kanteling van enkele microradialen verschuift het merk over fracties van een millimeter. Bij zulke hoeken vallen sinus, tangens en de hoek zelf tot in het zesde cijfer samen, daarom deelt het instrument de verschuiving eenvoudig door de brandpuntsafstand.
Gaia mat de posities van sterren tot op zo’n twintig microboogseconden — een tiende nanoradiaal, de dikte van een haar gezien vanaf tweeduizend kilometer. Hoeken worden daar alleen in radialen gerekend: in graden passen de getallen niet meer in het getalformaat.
05 · Schrijfregels
rad mag men weglaten, het gradenteken niet
Omdat de radiaal dimensieloos is, betekenen «sin 2» en «sin 2 rad» hetzelfde, en in wiskundige teksten laat men het symbool weg. Maar staat de hoek in graden, dan is het teken verplicht: sin 2° verschilt dertigvoudig van sin 2. Het symbool rad wordt klein geschreven; in de dosimetrie is dezelfde «rad» een eenheid van geabsorbeerde dosis, daarom schrijft men de hoek in Russische teksten alleen met voorbehoud als «рад».
De graad, de boogminuut en de boogseconde horen niet bij het SI maar zijn toegelaten in gebruik. Voorvoegsels worden er niet op toegepast: een milligraad bestaat niet, en breuken schrijft men als minuten en seconden of als decimalen.
06 · Naburige eenheden
De radiaal en de steradiaal zijn de twee dimensieloze SI-eenheden: de eerste voor de vlakke, de tweede voor de ruimtehoek. Beide zijn gelijk aan één, beide hebben een eigen naam, en beide bezorgen ieder die dimensiecontroles schrijft dezelfde hoofdbreken.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Bij hoeken kleiner dan 0,1 radiaal vallen sinus, tangens en de hoek zelf samen tot beter dan één procent — daarop rusten de hele optica van kleine afwijkingen en de theorie van de slinger.
07 · Historisch deel
Waarmee de cirkel vóór de radiaal werd verdeeld
Een zestigtallig spoor van Babylonische wiskunde: hij deelt zonder rest door twee, drie, vier, vijf, zes. Ptolemaeus verdeelde de graad in zestig minuten en de minuut in zestig seconden, en de schrijfwijze heeft achttien eeuwen onveranderd doorstaan.
Een metrieke poging: de rechte hoek is honderd gon, de hele cirkel vierhonderd. Hij bleef in de Europese landmeetkunde en in de rekenmachines van dat vak — het kortschrift GRA naast DEG en RAD.
Een richteenheid: ongeveer een milliradiaal. In de Russische traditie verdeelt men de cirkel in zesduizend, in de NAVO in 6400. Het gemak is hetzelfde: één duizendste is één meter op een kilometer.
De cirkel wordt naar de dagelijkse draaiing van de aarde in 24 uur verdeeld. Rechte klimmingen van sterren worden tot vandaag in uren, minuten en seconden gepubliceerd: één uur is vijftien graden.
Een eenheid die je niet kunt schrappen en niet kunt houden
Formeel is de radiaal gelijk aan één, daarom twistte het Internationaal Comité voor Maten en Gewichten lang over zijn status: in 1960 noemde men hem een aanvullende eenheid, in 1980 werd voorgesteld hem als dimensieloze afgeleide eenheid te erkennen, en in 1995 kwam er een compromis — een afgeleide eenheid met een eigen naam en dimensie één. Het praktische probleem bleef: in formules als ω = 2πf duikt de radiaal op en verdwijnt weer, en systemen voor dimensiecontrole in technische software moeten de hoek als uitzondering behandelen.
Catalogus · Internationaal Stelsel van Eenheden
Een fiche voor elke grootheid
Zeven basiseenheden, tweeëntwintig afgeleide met een eigen naam en het archief van stelsels die uit gebruik zijn geraakt. Elk heeft zijn eigen blad: definitie, dimensie, omrekening, instrumenten, schrijfregels. In 36 talen.