Radian
Avledet SI-enhet · størrelse: plan vinkel
01 · Definisjon
Radianen er den eneste SI-enheten som er lik én. Dimensjonen dens er en meter per meter, altså ingen i det hele tatt — og likevel har den et navn, et symbol og en plass i tabellen over avledede enheter.
Én radian er den vinkelen der buelengden er lik radien. Derav dens ubekvemme utseende i grader: 57 grader 17 minutter 45 sekunder. Til gjengjeld blir hele matematikken enklere: den deriverte av sinus er bare cosinus dersom argumentet står i radianer, buelengden er vinkelen ganger radien, og vinkelhastigheten måles i radianer per sekund helt uten omregningsfaktorer. En hel omdreining er 2π radianer, og det er den eneste grunnen til at π står i trigonometrien på hver linje.
Vinkelhastigheten måles i radianer per sekund, frekvensen i hertz, og de to bindes sammen av faktoren 2π. Å skrive ω i hertz er formelt mulig, siden radianen er dimensjonsløs, men SI-brosjyren tillater det ikke: størrelsene er forskjellige.
02 · Omregning
Skriv inn en vinkel — bladet regner den om
Graden overlevde den metriske reformen: forsøket på å innføre gon, der en rett vinkel måler hundre enheter, mislyktes overalt unntatt i fransk landmåling. Tre hundre og seksti deles uten rest på to, tre, fire, fem, seks og ni — den bekvemmeligheten viste seg sterkere enn desimallogikken.
Milliradianen er praktisk: en vinkel på én milliradian gir en forskyvning på én meter på en kilometers avstand. Skyttere og artillerister regner i streker nettopp derfor, og hoderegningen reduseres til en divisjon.
| Enhet | Navn | Verdi | Hvor den forekommer |
|---|---|---|---|
| rad | radian, SI-enheten | 1 | matematikk, fysikk, teknikk |
| mrad | milliradian | 1000 | sikter, lasere, optikk |
| µrad | mikroradian | 1 000 000 | justering, autokollimator |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | interferometri |
| omdr. | omdreining, 2π radianer | 0,15915 | rotasjon, viklinger |
| m/m | en meter per meter — det er nøyaktig 1 | 1 | radianen er dimensjonsløs |
| ° | grad, 1/360 sirkel | 57,3 | hverdag, landmåling, navigasjon |
| ′ | bueminutt, 1/60 grad | 3438 | sjøkart, astronomi |
| ″ | buesekund | 206 265 | teodolitt, astrometri |
| mas | millibuesekund | 2,063·10⁸ | stjerneparallakser |
| gon | gon, 1/400 sirkel | 63,66 | fransk landmåling |
| strek | strek, 1/6400 omdreining | 1019 | artilleri |
| rad | radian | 1 | dagens enhet |
Graden, bueminuttet og buesekundet blir værende i SI som enheter utenfor systemet — verken navigasjonen eller astronomien klarer seg uten dem. Gon oppsto ved den franske metriske reformen: en kvartsirkel i hundre deler, men den slo bare rot i landmålingen.
03 · Størrelsesordener
fra oppløsningen til et teleskop til hele omdreiningenÉn radian — 57,3 grader
04 · Måleinstrumenter
Hva vinkler måles med
En inndelt sirkel med avlesningsmikroskop: kikkerten rettes mot målet og avlesningen tas med nøyaktighet til buesekundet. Landmåleren snakker i grader, minutter og sekunder, men den innebygde regnemaskinen gjør dem om til radianer, for ellers lar ikke trigonometrien seg regne.
En skive med spalter på akselen: en fotomottaker teller pulser og deler omdreiningen i tusenvis av tellinger. Styringen til en robot holder leddstillingen direkte i radianer — slik regnes trigonometri og deriverte uten en eneste koeffisient.
Den sender en parallell stråle mot et speil og fanger opp refleksen: en helling på noen mikroradianer forskyver merket med brøkdeler av en millimeter. Ved slike vinkler faller sinus, tangens og selve vinkelen sammen til sjette desimal, derfor deler instrumentet ganske enkelt forskyvningen på brennvidden.
Gaia målte stjernenes posisjoner med en nøyaktighet på omkring tjue mikrobuesekunder — en tidels nanoradian, tykkelsen av et hårstrå sett fra to tusen kilometer. Vinkler regnes der bare i radianer: i grader får ikke tallene lenger plass i tallformatet.
05 · Skriveregler
rad kan utelates, gradtegnet ikke
Siden radianen er dimensjonsløs, betyr «sin 2» og «sin 2 rad» det samme, og i matematiske tekster utelates symbolet. Men står vinkelen i grader, er tegnet obligatorisk: sin 2° skiller seg fra sin 2 med en faktor tretti. Symbolet rad skrives med små bokstaver; i dosimetrien er det samme «rad» en enhet for absorbert dose, derfor skrives vinkelen i russiske tekster som «рад» bare med forbehold.
Graden, bueminuttet og buesekundet hører ikke til SI, men er tillatt i bruk. Prefikser brukes ikke på dem: en milligrad finnes ikke, og deler skrives som minutter og sekunder eller som desimaler.
06 · Naboenheter
Radianen og steradianen er SIs to dimensjonsløse enheter: den første for plan vinkel, den andre for romvinkel. Begge er lik én, begge har eget navn, og begge volder samme hodebry for den som skriver dimensjonskontroller.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Ved vinkler under 0,1 radian faller sinus, tangens og selve vinkelen sammen bedre enn én prosent — på det hviler hele optikken for små avvik og pendelens teori.
07 · Historisk del
Hva sirkelen ble delt med før radianen
Et seksagesimalt spor av babylonsk matematikk: den deles uten rest på to, tre, fire, fem, seks. Ptolemaios delte graden i seksti minutter og minuttet i seksti sekunder, og skrivemåten har gått gjennom atten århundrer uendret.
Et metrisk forsøk: den rette vinkelen måler hundre gon, hele sirkelen fire hundre. Den ble værende i europeisk landmåling og i det fagets kalkulatorer — betegnelsen GRA ved siden av DEG og RAD.
En sikteenhet: omtrent én milliradian. I russisk tradisjon deles sirkelen i seks tusen, i NATO i 6400. Bekvemmeligheten er den samme: én strek er én meter på en kilometer.
Sirkelen deles i 24 timer etter jordens døgnrotasjon. Stjernenes rektascensjoner utgis den dag i dag i timer, minutter og sekunder: én time er femten grader.
En enhet som verken kan strykes eller beholdes
Formelt er radianen lik én, derfor stred Den internasjonale komité for mål og vekt lenge om statusen dens: i 1960 kalte man den en tilleggsenhet, i 1980 ble det foreslått å anerkjenne den som dimensjonsløs avledet enhet, og i 1995 kom et kompromiss — en avledet enhet med eget navn og dimensjonen én. Det praktiske problemet ble værende: i formler som ω = 2πf dukker radianen opp og forsvinner igjen, og systemer for dimensjonskontroll i teknisk programvare må behandle vinkelen som et unntak.
Katalog · Det internasjonale enhetssystemet
Et datablad for hver størrelse
Sju baseenheter, tjueto avledede med egne navn og arkivet over systemer som er gått ut av bruk. Hver har sitt blad: definisjon, dimensjon, omregning, instrumenter, skriveregler. På 36 språk.