Radian
Đơn vị dẫn xuất SI · đại lượng: góc phẳng
01 · Định nghĩa
Radian là đơn vị SI duy nhất bằng một. Thứ nguyên của nó là mét trên mét, tức là chẳng có thứ nguyên nào — vậy mà nó vẫn có tên, có ký hiệu và có chỗ trong bảng các đơn vị dẫn xuất.
Một radian là góc mà ở đó độ dài cung bằng bán kính. Từ đó mà nó có dáng vẻ bất tiện khi tính bằng độ: 57 độ 17 phút 45 giây. Bù lại, toàn bộ toán học trở nên đơn giản hơn: đạo hàm của sin chỉ là cos nếu đối số tính bằng radian, độ dài cung là góc nhân bán kính, còn vận tốc góc được đo bằng radian trên giây mà không cần bất kỳ hệ số quy đổi nào. Một vòng đầy là 2π radian, và đó là lý do duy nhất khiến π xuất hiện ở mỗi dòng của lượng giác.
Vận tốc góc được đo bằng radian trên giây, tần số bằng héc, và hai đại lượng ấy nối với nhau qua thừa số 2π. Viết ω bằng héc thì về hình thức là được, vì radian không có thứ nguyên, nhưng cuốn sách mỏng của SI không cho phép: đó là những đại lượng khác nhau.
02 · Quy đổi
Nhập một góc — phiếu sẽ quy đổi
Độ đã sống sót qua cuộc cải cách mét: nỗ lực đưa grad vào, nơi góc vuông bằng một trăm đơn vị, đã thất bại ở khắp nơi trừ trắc địa Pháp. Ba trăm sáu mươi chia hết cho hai, ba, bốn, năm, sáu và chín — sự tiện lợi ấy hoá ra mạnh hơn lôgic thập phân.
Miliradian tiện trong thực tế: một góc một miliradian cho độ dịch một mét ở khoảng cách một kilômét. Xạ thủ và pháo binh đếm bằng ly giác chính là vì thế, và phép tính nhẩm rút lại thành một phép chia.
| Đơn vị | Tên | Giá trị | Gặp ở đâu |
|---|---|---|---|
| rad | radian, đơn vị SI | 1 | toán học, vật lý, kỹ thuật |
| mrad | miliradian | 1000 | ống ngắm, laser, quang học |
| µrad | micrôradian | 1 000 000 | chỉnh chuẩn, ống tự chuẩn trực |
| nrad | nanoradian | 1·10⁹ | giao thoa kế |
| vòng | vòng, 2π radian | 0,15915 | quay, cuộn dây |
| m/m | mét trên mét — đó đúng là 1 | 1 | radian không có thứ nguyên |
| ° | độ, 1/360 vòng tròn | 57,3 | đời thường, trắc địa, hàng hải |
| ′ | phút cung, 1/60 của độ | 3438 | hải đồ, thiên văn học |
| ″ | giây cung | 206 265 | máy kinh vĩ, trắc lượng thiên văn |
| mas | mili giây cung | 2,063·10⁸ | thị sai các ngôi sao |
| grad | grad (gon), 1/400 vòng tròn | 63,66 | trắc địa Pháp |
| ly giác | ly giác, 1/6400 vòng quay | 1019 | pháo binh |
| rad | radian | 1 | đơn vị ngày nay |
Độ, phút và giây cung vẫn ở lại trong SI như những đơn vị ngoài hệ — cả hàng hải lẫn thiên văn đều không thể thiếu chúng. Grad ra đời trong cuộc cải cách mét của Pháp: một phần tư vòng tròn chia thành một trăm phần, nhưng nó chỉ bén rễ trong trắc địa.
03 · Bậc độ lớn
từ độ phân giải của kính thiên văn đến vòng quay đầyMột radian — 57,3 độ
04 · Dụng cụ đo
Góc được đo bằng gì
Vòng chia độ kèm kính hiển vi đọc số: ngắm ống kính vào mục tiêu và lấy số đọc chính xác đến giây cung. Người trắc địa nói bằng độ, phút và giây, nhưng bộ tính toán tích hợp đổi chúng sang radian, bởi nếu không thì không tính nổi lượng giác.
Đĩa xẻ rãnh trên trục: đầu thu quang đếm xung và chia vòng quay thành hàng nghìn số đếm. Bộ điều khiển của robot giữ vị trí khớp thẳng bằng radian — nhờ vậy lượng giác và đạo hàm được tính mà không cần một hệ số nào.
Nó gửi một chùm tia song song lên gương và bắt lấy phản xạ: độ nghiêng vài micrôradian làm vạch chuẩn dịch đi những phần nhỏ của milimét. Ở những góc như thế, sin, tang và chính góc ấy trùng nhau tới chữ số thứ sáu, nên thiết bị chỉ việc chia độ dịch cho tiêu cự.
Gaia đo vị trí các ngôi sao với độ chính xác khoảng hai mươi micrô giây cung — bằng một phần mười nanoradian, tức bề dày một sợi tóc nhìn từ hai nghìn kilômét. Ở đó góc chỉ được tính bằng radian: tính bằng độ thì các con số không còn vừa với định dạng số nữa.
05 · Quy tắc viết
rad có thể bỏ, còn dấu độ thì không
Vì radian không có thứ nguyên nên «sin 2» và «sin 2 rad» có cùng một nghĩa, và trong các văn bản toán học người ta bỏ ký hiệu đi. Nhưng nếu góc tính bằng độ thì dấu là bắt buộc: sin 2° khác sin 2 tới ba mươi lần. Ký hiệu rad viết bằng chữ thường; trong đo liều, cũng chính «rad» ấy lại là đơn vị liều hấp thụ, nên trong văn bản tiếng Nga người ta chỉ viết góc là «рад» kèm theo lời dè dặt.
Độ, phút và giây cung không thuộc SI nhưng được phép dùng. Người ta không gắn tiền tố cho chúng: không có mili độ, còn phần lẻ thì viết thành phút và giây hoặc viết thập phân.
06 · Các đơn vị lân cận
Radian và steradian là hai đơn vị không thứ nguyên của SI: cái đầu cho góc phẳng, cái sau cho góc khối. Cả hai đều bằng một, cả hai đều có tên riêng, và cả hai đều gây cùng một cơn nhức đầu cho người viết các phép kiểm tra thứ nguyên.
m / m
m² / m²
ω = 2πf
Ở những góc nhỏ hơn 0,1 radian, sin, tang và chính góc ấy trùng nhau với sai lệch dưới một phần trăm — toàn bộ quang học của những độ lệch nhỏ và lý thuyết con lắc đều dựa trên điều đó.
07 · Phần lịch sử
Trước radian người ta chia vòng tròn bằng gì
Dấu vết lục thập phân của toán học Babylon: nó chia hết cho hai, ba, bốn, năm, sáu. Ptolemaios chia độ thành sáu mươi phút và phút thành sáu mươi giây, và cách viết ấy đã đi qua mười tám thế kỷ không đổi.
Một nỗ lực mét: góc vuông bằng một trăm grad, cả vòng tròn bốn trăm. Nó còn lại trong trắc địa châu Âu và trong máy tính bỏ túi của nghề ấy — chữ GRA bên cạnh DEG và RAD.
Một đơn vị ngắm: xấp xỉ một miliradian. Theo truyền thống Nga, vòng tròn được chia thành sáu nghìn, ở NATO thành 6400. Sự tiện lợi vẫn thế: một ly giác là một mét ở một kilômét.
Vòng tròn được chia thành 24 giờ theo sự tự quay ngày đêm của Trái Đất. Xích kinh của các ngôi sao đến nay vẫn được công bố bằng giờ, phút và giây: một giờ là mười lăm độ.
Một đơn vị không thể bỏ đi mà cũng không thể giữ lại
Về mặt hình thức radian bằng một, vì thế Uỷ ban Cân đo Quốc tế đã tranh cãi rất lâu về địa vị của nó: năm 1960 người ta gọi nó là đơn vị bổ sung, năm 1980 có đề nghị công nhận nó là đơn vị dẫn xuất không thứ nguyên, và năm 1995 một thoả hiệp được thông qua — đơn vị dẫn xuất có tên riêng và thứ nguyên bằng một. Rắc rối thực tế vẫn còn: trong những công thức như ω = 2πf, radian lúc hiện lúc biến, và các hệ kiểm tra thứ nguyên trong phần mềm kỹ thuật buộc phải coi góc là ngoại lệ.
Danh mục · Hệ đơn vị quốc tế
Mỗi đại lượng một phiếu
Bảy đơn vị cơ bản, hai mươi hai đơn vị dẫn xuất có tên riêng và kho lưu những hệ đã thôi được dùng. Mỗi đơn vị có phiếu của mình: định nghĩa, thứ nguyên, quy đổi, thiết bị, quy tắc viết. Bằng 36 thứ tiếng.